数学试卷
∵反比例函数y=（x＞0）的函数图象经过点D（1，2）， ∴2=∴m=2， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）当x=3时，y=kx+3﹣3k=3， ∴一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C； （3）设点P的横坐标为a， 则a的范围为＜a＜3． 点评： 本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用平行四边形的性质确定点的坐标；掌握一次函数的增减性． 24．（10分）（2019?临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．
（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；
（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式； （3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？ 考点： 一次函数的应用． 分析： （1）观察图象，即可求得日销售量的最大值； （2）分别从0≤x≤12时与12＜x≤20去分析，利用待定系数法即可求得小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式； （3）第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜x≤15时，设樱桃价格与上市时间的函数解析式为z=kx+b，由点（5，32），（15，12）在z=kx+b的图象上，利用待定系数法即可求得樱桃价格与上市时间的函数解析式，继而求得10天与第12天的销售金额． 解答： 解：（1）由图象得：120千克， （2）当0≤x≤12时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为y=k1x， ∵直线y=k1x过点（12，120）， ∴k1=10， ∴函数解析式为y=10x， 当12＜x≤20，设日销售量与上市时间的函数解析式为y=k2x+b， ∵点（12，120），（20，0）在y=k2x+b的图象上， ∴， 解得： ∴函数解析式为y=﹣15x+300， ∴小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式为：y= （3）∵第10天和第12天在第5天和第15天之间， ∴当5＜x≤15时，设樱桃价格与上市时间的函数解析式为z=mx+n， ∵点（5，32），（15，12）在z=mx+n的图象上， ∴解得：， ， ； ∴函数解析式为z=﹣2x+42， 当x=10时，y=10×10=100，z=﹣2×10+42=22， 销售金额为：100×22=2200（元）， 当x=12时，y=120，z=﹣2×12+42=18， 销售金额为：120×18=2160（元）， ∵2200＞2160， ∴第10天的销售金额多． 点评： 此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用． 25．（10分）（2019?枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为
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E，且PC=PE?PO
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．
考点： 切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）连接OC，根据PC2=PE?PO和∠P=∠P，可证明△PCO∽△PEC，则∠PCO=∠PEC，再由已知条件即可得出PC⊥OC； 2（2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得PC=PA?PB，则PA?PB=PE?PO，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径； （3）连接BC，根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，由三角函数学试卷
数的定义可得出答案． 解答： （1）证明：连接OC， ∵PC=PE?PO， ∴=， 2∵∠P=∠P， ∴△PCO∽△PEC， ∴∠PCO=∠PEC， ∵CD⊥AB， ∴∠PEC=90°， ∴∠PCO=90°， ∴PC是⊙O的切线． （2）解：设OE=x， ∵OE：EA=1：2， ∴AE=2x， 2∵PC=PA?PB， ∴PA?PB=PE?PO， ∵PA=6， ∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x）， 解得，x=1， ∴OA=3x=3， ∴⊙O的半径为3． （3）解：连接BC， ∵PC=PA?PB， ∴PC=6， ∴CE=∴BC====2=2， ， 2∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCA=∠B， ∴sin∠PCA=sin∠B===． 点评： 本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义的综合应用，是中考压轴题，难度中等． 26．（12分）（2009?德城区）如图所示，已知抛物线y=x﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
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（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；开放型；分类讨论． 分析： （1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值； （2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积； （3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解． 解答： 解：（1）令y=0， 得x﹣1=0 解得x=±1， 令x=0，得y=﹣1 ∴A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1）；（2分） （2）∵OA=OB=OC=1， ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°． ∵AP∥CB， ∴∠PAB=45°． 过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形， 令OE=a，则PE=a+1， ∴P（a，a+1）． 2∵点P在抛物线y=x﹣1上， 2∴a+1=a﹣1． 解得a1=2，a2=﹣1（不合题意，舍去）． ∴PE=3（4分）． ∴四边形ACBP的面积S=AB?OC+AB?PE =×2×1+×2×3=4；（6分） （3）假设存在 2
