B C
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
B A F P D A D E C 经典难题（五）
1、 设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，
A P 求证：
≤L＜2．
B C
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A D P B C 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A P D
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4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝20，求∠BED的度数．
0
A
B C D E 经典题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得
EOGF=
GOGH=
COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得
EOGF=
GOGH=
COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，
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连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E=1A1B1=1B1C1= FB2 ，EB2=1AB=1BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 2222∠GEB2+∠Q=90,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=90和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
0
0
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典题（二）
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1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=60,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
0
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
由于
ADAB=ACAE=CDBE=2FD2BG=FDBG，
由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
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