九年级几何专题复习---《四边形》的整体备课要点分析
广州四中 黄晓茹
一、关于四边形的主干知识点为：
几种特殊的四边形的性质与判定的应用，计划有4个课时来完成本章的复习。 第1课时：多边形与平面图形的镶嵌
——包括了多边形的内角和与外角和的计算、对角线的计算，镶嵌的原则和常见形式。
第2课时：平行四边形
——包括平行四边形的定义和性质、判定、面积公式
第3课时：特殊的平行四边形
——矩形、菱形、正方形的性质与判定的应用，菱形的面积公式计算
第4课时：梯形
——梯形的有关概念、等腰梯形的性质与判定、梯形的中位线、以及梯形常用的辅助线
二、关于与四边形进行单元间综合的知识点有：
圆与多边形，轴对称图形，中心对称图形，旋转图形，全等三角形，相似三角形，解直角三角形，函数。针对涉及本单元外的知识点，要计划在单元外复习时加强落实，以确保单元复习的延续性和完整性。
示例1.（2009年衡阳市）如图，直线y??x?4与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D． （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为
a（0?a?4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式．
y B D M B y B y O C 图（1）
A x O 图（2）
A x O A 图（3）
x
【关键词】一次函数、正方形、动态 【答案】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0
∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0 22 三、通性通法分析 示例2.（2009年嘉兴中考）如图，在平行四边形ABCD中，AE?BC于E，AF?CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H． 1 （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若AG?AH，求证：四边形ABCD是菱形． 分析：本题其实就是背景是平行四边形的基础上找到相似三角形的相关条件，要引导学生能排除其他形状的干扰，找到解题的主干。特殊的平行四边形的性质与判定的应用，也是常见的题型。 【解析】（1）由∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE=∠ADF． 可得△ABE∽△ADF； （2）AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，从而∠AGB=∠AHD．可证△ABG≌△ADH．即AB?AD．∴四边形ABCD是菱形． 示例3.（2009肇庆）如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． A （1）求证：△ABF≌△DAE； D （2）求证：DE?EF?FB． 分析：本题利用全等的证明，来暗示出不在同一条直线上的线段之间的数 E 量关系。类似的还有通过全等的证明来找出角之间的数量关系与位置关系。 F 【关键词】正方形 【答案】证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG， C B G ∴∠AED=∠AFB=90°． ∵ABCD是正方形，DE⊥AG， ∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠BAF =∠ADE． 又在正方形ABCD中，AB=AD．在△ABF与△DAE 中，∠AFB =∠DEA=90°， ∠BAF =∠ADE ，AB=DA， ∴△ABF≌△DAE． （2）∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF． 又 AF=AE+EF，∴AF=EF+FB，∴DE=EF+FB． 四、思想方法分析 1、动态问题的分类 示例4.（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 【关键词】动态四边形 【答案】（1）①30，1；②60，1.5； 0 （2）当∠α=90时，四边形EDBC是菱形. 0 ∵∠α=∠ACB=90，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. 00 在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60,BC=2, 0 ∴∠A=30.∴AB=4,AC=23. ∴AO= 1AC=3 . 22 在Rt△AOD中，∠A=30，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 2、转化思想 示例5．（2009年日照市）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） A D A G E C B C B 第24题图③ C E F 第24题图① F G E F D A D 0 B 【关键词】正方形,图形的全等，旋转 【答案】解：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点，∴ CG= 第24题图② 1FD． 2同理，在Rt△DEF中， EG= 1FD． 2∴ CG=EG． （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， M D A ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， G ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG． E F N 在△DMG与△FNG中， ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． C N B ∴ MG=NG 图 ②（一） 在矩形AENM中，AM=EN． 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， D A ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． G ∴ AG=EG． F E ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立， 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG． C B 图③ 3 示例6.（2009年遂宁中考）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点. ⑴求证：EF+GH=5cm； EF⑵求当∠APD=90o时，GH的值． 111【解析】由于E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点，则EF+GH=2BP+2PC=2BC，得EF+GH=5cm； 【解答】⑴∵矩形ABCD，AD=10cm， ∴BC=AD=10cm ∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点， 111∴EF+GH=2BP+2PC=2BC， ∴EF+GH=5cm． ⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90o，又∵∠APD=90o， ∴由勾股定理得AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2 =BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32, 即100=2BP2-20BP+100+32 解得BP=2或8(cm) EF1?GH4 当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时EF?4GH当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时 EF1∴GH的值为 4或4． 五、问题策略分析 1、对重要的概念与性质不清楚 示例：10.（2009年·威海中考）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ） A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDE 【解析】D 由于E是BC边的中点，若CD∥AF,则△CDE≌△BEF,得CD=BF=AB,因此选D。 易错点：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 措施：对平行四边形的性质与判定的知识点要加强训练，让学生知道，并不是所有的两个元素的组合就可以是平行四边形。 4
