学考系列·物理 第7讲 万有引力与航天
【小纳考点精讲】
【考点1】行星的运动及太阳与行星的引力 1．地心说和日心说
(1)地心说：太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。
(2)日心说：地球是绕太阳旋转的普通星体，月球是绕地球旋转的卫星。 2．开普勒行星运动定律
(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。
(2)对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。
(3)所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。 【考点2】万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 m1m2－
2．表达式：F＝G2，其中引力常量G＝6.67×1011 N·m2/kg2。
r3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 4．万有引力定律的两个易混点
(1)任何两个物体之间都存在万有引力，不是只有天体之间才存在。
(2)万有引力定律适用于质点间和相互作用，当物体间距离趋近于零时，并非万有引力趋向
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学考系列·物理 于无穷大。
【例1】 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远小于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
F太M太R2Mm月
【小思点评】根据F＝G2可得，＝，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引RF月M月R2太力，A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，D正确，C错误。故选D。
【例2】引力常量为G，地球质量为M，地球可看做球体，半径为R，忽略地球的自转，则地球表面的重力加速度为( ) GM
A．g＝
RGM
C．g＝2
R
B．g＝GR
D．缺少条件，无法计算
GMm
【小思点评】忽略地球自转时，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有mg＝2，
RGM
所以g＝2。故选C
R
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学考系列·物理 【考点3】 万有引力定律应用
1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 (1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 (2)两组公式
vMm4π22
G2＝m＝mωr＝m2r＝ma rrT
GMm
mg＝2(g为星体表面处的重力加速度)
R2．应用万有引力定律求天体的质量、密度
Mm
通过围绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即G2＝
r4π24π2r3m2·r，得天体质量M＝2。 TGT(1)若知道天体的半径R，则天体的密度 MM3πr3ρ＝＝＝。
V43GT2R3πR3
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度ρ＝
3π。 GT22
【例3】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的( ) A．0.5倍 C．4倍
B．2.0倍 D．8.0倍
1
【小思点评】由题可知该星球的M＝2M0，R＝R0，R0为地球半径，M0为地球的质量，设
2GMmGM0m
宇航员质量m，则宇航员在星球上的万有引力为F＝2，在地球上的万有引力为F0＝2，
RR0
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学考系列·物理 可求得F＝8F0，故本题正确选项为D。
【例4】有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( ) 1
A. 4C．16倍
B．4倍 D．64倍
M星?g星?GM3M9g3
【小思点评】天体表面的重力加速度g＝2，又知ρ＝所以M＝223，故＝??3，R4πR16πρGM地?g地?3
＝64。故选D。
【考点4】星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法
1．地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得g0＝其他星体表面。
GM2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律，有g＝(R为地球的半径)。
（R0＋h）20【例5】 宇航员王亚平在“天宫”一号飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A．0 GMmC. （R＋h）2GMB. （R＋h）2GMD.2 h
Mm
＝mg，得g＝
（R＋h）2GM
(R0为地球的半径)。该式也适用于R20
【小思点评】飞船受到的万有引力等于在该处所受的重力，即GGM
，B选项正确。故选B。
（R＋h）2
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