第6章 几何公理法简介
6.6 几何公理体系的三个基本问题
任何公理体系中，包括初等几何公理体系，都有三个基本问题： ① 无矛盾性问题（即和谐问题）； ② 最少个数问题（即独立性问题）； ③ 完备性问题．
第一个问题要求公理体系的各个公理以及经过一串推导得出的命题不能相互矛盾，首先要求公理之间不相矛盾．这显然是必要的条件．
证明公理体系的和谐性常用模型法．公理法是抽象的，它所考虑的对象（几何元素点、直线、平面）以及对象之间的关系或运算（几何上讲的接合、顺序、合同），都是不加定义的，但要满足公理的要求．设给定一组公理，在某些对象间建立了确定性质的相互关系．从所采用的公理，可以对这些对象的这些性质作逻辑推理，而完全不必理睬它们其它一切可能的性质，只要公理中没有提到．
所以一个已知公理体系的对象可以是任意种类的事物，而且在公理中说到的它们之间的关系，可以有任何具体意义，只要公理的要求得到满足．
给定一组公理，具体挑选一组事物使这组公理得到满足，就说给这组公理做了一个实现或解释．实现这些公理的对象的集合，构成这公理体系的一模型．
一个公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这公理体系就是和谐的． 举一具体的例．我们给第一组公理I1-8造一个模型． 取一个四面体，约定将它的顶点叫做“点”，棱叫做“直线”，面叫做“平面”．在这个实现里，构成几何元素的集合是四点、六直线、四平面．
正象在任何实现里一样，此刻应将接合性具体叙述出来．我们约定，跟四面体ABCD的顶点例如A所代表的“点”相接合的“直线”就是含顶点A的棱，跟“点”A接合的“平面”就是四面体含顶点A的面；跟“直线”AB接合的“平面”就是四面体含棱AB的面．
容易验明，在这个模型里，公理I1-8全部满足． 这四面体模型的存在表明八条接合公理是和谐的． 这个模型的存在，还给我们带来一个更宝贵的信息，即从第一组接合公理不能推出几何元素的个数是无穷的．因为四面体模型只有4+6+4=14个元素却已实现了它．
初等几何公理体系的和谐性证明是相对的，即有条件的。一般的几何基础书上介绍平面几何公理I1-8，II-V的和谐性证明时，是给出一个笛卡尔实现．结论是：
倘若实数的算术是和谐的，则公理I-V是和谐的． 第二个基本问题是公理的独立性问题．如果公理体系中有一个公理可从其余公理推导出来，它就不是独立的，可以把它从公理表中挪走，减少一个公理．试证第五公设的过程就是这样一个过程．但是为了简化演绎过程，有时也多列上一条公理．例如近年的中学几何课本就把三角形全等的三条定理都当作公理用．
还须注意，一种几何可以用不同的公理体系作为基础，所以去掉多余的公理（如果有的话）以后，一般说来，可以得到不同的最少个数的体系．因此，最少个数的公理体系决不是唯一的．
一组公理的独立性，虽非必要的，却是我们所期望的．设一组公理含有n个和谐的公理
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A1,A2,?,An．要表明其中一个Ai对于其余公理的独立性，办法是把它化为一个和谐的问
题，即证明公理组（Ai表Ai的反面） A1,A2,?,Ai?1,Ai,Ai?1,?,An
的和谐性。这是因为如果Ai能从A1,?,Ai?1,Ai?1,?,An推出，上一行的公理中就将既含Ai又含Ai，就不和谐了．
公理法的第三个基本问题是完备性问题
定义1 设一个公理体系具有两个模型?和??，如果在?和??的对象之间能建立这样的一一对应，使得?中元素间的相互关系或命题，总跟??中相应元素间的相互关系或命题相对应，则称这两模型是同构的．
定义2 如果一个公理体系的各个模型是同构的，这公理体系就称为完备的．
由于希尔伯特构作的公理体系使得它有一个笛卡尔模型同构，因而相互同构．所以公理体系I-V是完备的．
几何公理的三个基本问题中，和谐性是必要的，独立性和完备性不是必要的．正在发展中的数学分支一般不具完备性．数学中一些公理体系正因为不具备完备性，才有各色各样的模型，显示出这公理体系的广泛应用．
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