课时作业73 参数方程
1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?x＝3cos α，
?y＝sin α
(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方π??程为ρsin?θ＋?＝22. 4??
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 解：(1)C1的普通方程为＋y＝1.
3
x2
2
C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
π??|3cos α＋sin α－4|??＝2?sin?α＋?－2?. 3????2
d(α)＝π
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标
6
?31?为?，?. ?22?
?x＝2cos φ，
2．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?
?y＝3sin φ方程为ρsin θ－kρcos θ＋k＝0(k∈R)．
(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程；
(2)若直线l与曲线C交于点A，B，且点M(1,0)为线段AB的一个三等分点，求|AB|. 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为＋＝1.
43直线l数)．
(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程并化简得(3＋sinα)t＋6tcos α－9＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2， 6cos αt＋t＝－，??3＋sinα∴?9
t·t＝－<0.??3＋sinα1
2
2
1
2
22
2
(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标
x2y2
??x＝1＋tcos α，的直角坐标方程为y＝k(x－1)，其一个参数方程为?
?y＝tsin α?
(t为参
①
1
4522
不妨设t1>0，t2<0，t1＝－2t2，代入①中得cosα＝，sinα＝.
99|AB|＝|t1－t2|＝
t1＋t2
2
1227
－4t1t2＝＝. 2
3＋sinα8
3．(2019·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝24
，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的
4cos θ＋3sin θ??x＝cos θ，
直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为?
?y＝sin θ?
(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程； (2)将曲线C2经过伸缩变换?
?x′＝22x，
?y′＝2y
后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲
线C3上的动点，求|MN|的最小值．
解：(1)∵C1的极坐标方程是
24
，
4cos θ＋3sin θρ＝
∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24， ∴4x＋3y－24＝0，
故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0. ∵曲线C2的参数方程为?∴x＋y＝1，
故C2的普通方程为x＋y＝1. (2)将曲线C2经过伸缩变换?
2
2
2
2
??x＝cos θ，??y＝sin θ，
?x′＝22x，
?y′＝2y
后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为
?x′＝22cos α，?
?y′＝2sin α离
(α为参数)．设N(22·cos α，2sin α)，则点N到曲线C1的距
d＝
＝＝
|4×22cos α＋3×2sin α－24|
5
|241sinα＋φ－24|
524－241sinα＋φ5
42??
?其中φ满足tan φ＝?.
3??
24－241
当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，
5
2
24－241
所以|MN|的最小值为.
5
2
?x＝4＋t，?2
4．已知直线l的参数方程为?
2y＝t??2
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点．
(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ＝4ρcos θ，
所以x＋y－4x＝0，所以圆C的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4. 设A，B对应的参数分别为t1，t2. 将直线l的参数方程代入圆C：
(x－2)＋y＝4，并整理得t＋22t＝0， 解得t1＝0，t2＝－22.
所以直线l被圆C截得的弦AB的长为 |t1－t2|＝22.
(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0.
??x＝2＋2cos θ，
圆C的参数方程为?
??y＝2sin θ2
2
2
2
2
2
2
2
(θ为参数)，
可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)， 则点P到直线l的距离
π?|2＋2cos θ－2sin θ－4|???＝?2cos?θ＋?－2?，
4????2
d＝
π??当cos?θ＋?＝－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋2.
4??1
所以S△ABP＝×22×(2＋2)＝2＋22，
2即△ABP的面积的最大值为2＋22.
5．(2019·郑州测试)在直角坐标系xOy中，直线l??x＝tcos α，
的参数方程为?
?y＝1＋tsin α?
(t为参数，α∈[0，π))．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线
C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.
(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围； (2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值．
解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcosθ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x＝4y. ∵M(x，y)为曲线C上任意一点，
2
2
3
1212
∴x＋y＝x＋x＝(x＋2)－1，
44∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．
??x＝tcos α，
(2)将?
?y＝1＋tsin α?
2
2
2
代入x＝4y，
2
得tcos α－4tsin α－4＝0. ∴Δ＝16sinα＋16cosα＝16>0，
设方程tcosα－4tsin α－4＝0的两个根为t1，t2， 4sin α－4则t1＋t2＝，t1t2＝2， 2
cosαcosα∴|AB|＝|t1－t2|＝
2
22
t1＋t2
2
－4t1t2＝
4
≥4，当且仅当α＝0时，取等号． 2cosα故当α＝0时，|AB|取得最小值4.
6．(2019·广州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
??x′＝2x，
为参数)，将曲线C1经过伸缩变换?
??y′＝y?x＝cos α，?
??y＝2sin α
(α
后得到曲线C2.在以原点为极点，x轴正半轴
为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－10＝0.
(1)说明曲线C2是哪一种曲线，并将曲线C2的方程化为极坐标方程；
(2)已知点M是曲线C2上的任意一点，求点M到直线l的距离的最大值和最小值． 解：(1)因为曲线C1的参数方程为
??x＝cos α，
?
?y＝2sin α?
??x′＝2x，
(α为参数)，且?
?y′＝y，?
??x＝2cos α，
所以曲线C2的参数方程为?
?y＝2sin α，?
所以C2的普通方程为x＋y＝4， 所以C2为圆心在原点，半径为2的圆， 所以C2的极坐标方程为ρ＝4， 即ρ＝2(θ∈R)．
(2)解法一 直线l的直角坐标方程为x－y－10＝0，设M(2cos α，2sin α)(α为参数)．
曲线C2上的点M到直线l的距离
π??α＋|22cos?－10|
4?|2cos α－2sin α－10|??
2
＝2
2
22
d＝.
π?π|22－10|?当cos?α＋?＝1，即α＝2kπ－(k∈Z)时，d取得最小值，为＝52－
4?4?22.
4
