同理 mB?nC??(m1B1?n1C1)?MnC?kA??(n1c1?k1A1)?N
三式相加得 L?M?N?0 所以三点共线。 10分
九、解： (1)P点的极线为：
?223??x1?????SP=(1,2,1)200x2?9x1+2x2+4x3=0 5分
?????301??x????3? （2）设直线的极点为(a,b,c)则有
?223??a??3?1?????? 200b??1 解方程组可得极点(2,?,?6) 10分 ??????2?301??c??6???????十、证明：如图
A D P C B E
ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为AD?AB所以PA为角DPB的平分线。
同理可证明PC是角EPB平分线。即PA,PC是角DPB的内外角平分线。 所以直线PD,PA,PB,PC构成调和线束。
10分
高等几何标准答案（C）
一、 填空题：(每题3分共15分)
1、2x?y?1?0 2、（1，0，0），（0，1，0）
3、2x1?x3?0 4、-1，3 5、u1?4u2?17u3?0 二、判断题：（每题2分共10分） 1、 对 ， 2、错， 3、对， 4、对， 5、错
''??x1'?2x1?x2三、解：变换化为齐次坐标形式：? 3分 '??x2?x1?3x2 将坐标原点（0，1），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为： （-1，3）和（2，1） 7分
四、解：由题意得d?a?c 设b?a?kc 则
(ab,cd)?k 3分 而(ac,bd)?1?(ab,cd)?1?(?)? b?2x1?2x2?x3?2355 所以k? 335(x1?x2?x3)?0 3 整理得：11x1?2x2?2x3?0 8分 五、解：在直线上建立适当坐标系使A,B,C的坐标分别为
A(0,1),B(1,1),C(1,0) 3分 则有 A(0,1)?B(1,1),B(1,1)?C(1,0),C(1,0)?A(0,1)
??x1'?a11x1?a12x2 设变换为? 将坐标代入可求得 '??x2?a21x1?a22x2??x1'?x2 ? 7分 '?x??x?x?212 非齐次形式为：xx?x?1?0
因方程 x?x?1?0无实数解 所以变换是椭圆形。 10分 六、证明：
设两直线为：a:y?k1x?b1,b:y?k2x?b2
2''?x?ax'?by'?c22a?b?0 相似变换为：? ''?y??bx?ay?d将变换代入直线a的方程得：k1?'k1a?bka?b同理可得k2'?2 5分
a?k1ba?k2bk2'?k1'k2?k1''tan?a,b??tan?a,b? 即两直线的夹角是相似群的不变量 即??''1?k2k11?k2k110分 七、解：
1??由特征方程：
11??0001??3?0得（1-?）?0即??1 4分
00?0x1?x2?0? 将??1代入方程组?0x2?0 得x2?0 ,故x2?0上的点都是不变点
?0x?03?x2?0时不变点列。 10分
八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。 证明： 如图 A1 A5
E A3 F N L M
A4 A6
A2
对应边交点分别为L,M,N，以A1,A3为射心 A1(A4,A2,A6,A5)与A3(A4,A2,A6,A5)成射影对应，而
A1(A4,A2,A6,A5)与点列(A4,L,E,A5)成透视对应 )(F,M,A6,A5)成透视对应 A3(A4,A2,A6,A5与点列
所以点列(A4,L,E,A5)与(F,M,A6,A5)成射影对应。而A5位自对应点，所以两点列成透视对应。 故对应点连线共点。
即A4F,LM,EA6共点， A3A4与A1A6交点N在LM上。 10分 九、解：通过直线a[1,3,1],b[1,5,?1]的交点的直线的线坐标为
[1?k,3?5k,1?k] 2分 若此直线属于二阶曲线则有 4(1?k)?(3?5k)?2(1?k)?0 即 27k?42k?11?0 解得k??,k??22221311 9所求直线的坐标 [1,2,2]和[-1,-14,10] 10分 十、证明：E,F为自对应元素，P与P1对应 则有(PP1,EF)?(PP1,EF) 而 (PP1,EF)?1
(PP,EF)1 所以(PP1,EF)?12,EF)?1 因为P,P 得 (PP11不重合
(PP,EF)1 故(PP1,EF)??1 10分
