2014年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分细则
一 试
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．在△ABC中，若ccosB＝12，bsinC＝5，则c＝
答案：13．
解：根据正弦定理，得csinB＝bsinC＝5，所以c2＝(ccosB)2＋(csinB)2＝132，从而c＝13．
．
．
1
2．函数f(x)＝x＋(x+1)3＋1(x＞0)，则函数取得最小值时，所对应的x值是 答案：3－1．
4
111111解：由f(x)＝x＋(x+1)3＋1＝3(x＋1)＋3(x＋1)＋3(x＋1)＋(x+1)3≥4 (3)3，
4114
等号当且仅当3(x＋1)＝(x+1)3，即x＝3－1．（本题也可求导）
3．对于任意的实数a∈(－2，4]，都有x2－ax＋9＞0成立，则实数x的取值范围为
答案：R．
解：当a∈(－2，4]时，△＝a2－36＜0，故x2－ax＋9＞0恒成立，
从而x的取值范围是R．
．
前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是 ． 4．已知等比数列{an}的公比为q，
答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．
解：因为Sn＞0（n＝1，2，3，…），所以a1＞0．
当q＝1，Sn＝na1＞0成立．
a1(1－qn)
＞0（n＝1，2，3，…）恒成立， 当q≠1，Sn＝
1－q所以q∈(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)． 综上q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
5．已知5件产品中有3件合格品，2件次品．每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好
经过3次检验找出2件次品的概率为 3
答案：10．
解：恰好3次找出2件次品，有三种情况：（1）第1次，第3次找出次品；
（2）第2次，第3次找出次品，（3）前三次均为正品．
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．
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2311
若第1次，第3次找出次品的5×4×3＝10； 3211
若第2次，第3次找出次品的概率5×4×3＝10． 3211
若前3次均找出的是正品的概率5×4×3＝10，
1113
故恰好经过3次检验找出2件次品的概率为10＋10＋10＝10．
x22
6．点A是椭圆a2＋y＝1(a＞1)的上顶点，B、C是该椭圆上的另外两点，且△ABC是以点A
为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的范围为
．
6
答案：(0，3]．
解：设等腰直角三角形的一边所在直线方程为：y＝kx＋1(k＞0)，它与椭圆的另一个交点
2ka22ka2
B的横坐标为－，从而点C的横坐标为22．
1＋a2k2a＋k4k2a414k2a4
＝(1＋k2)×222， 由AB＝AC，得(1＋k)×(1＋a2k2)2(a＋k)
2
化简得：k3－a2k2＋ka2－1＝0，由题意知，此方程的解只有k＝1． 而k3－a2k2＋ka2－1＝(k－1)［k2－(a2－1)k＋1］＝0， 要使上述方程有惟一的正数解k＝1，则(a2－1)2－4≤0， ． 即1＜a≤3（a＝3时，方程的解惟一）
6所以其离心率的取值范围是(0，3]．
7．方程x＋2y＋3z＝2014的非负整数解(x，y，z)的个数为 答案：339024．
k
解：方程x＋2y＝k的非负整数解(x，y)个数为［2］＋1，
所以，方程x＋2y＝2014－3z的非负整数解的个数为
671z=0
．
∑{［
6716712014－3z z
］＋1}＝∑(1007－2z)＋∑［］＋672 2z=0z=02
＝672×1007－670×672＋335×336＝339024．
－3＋8k＋1]＝ 8．计算：∑[4k=1
2014
．
答案：40115．
－3＋8k＋12
解：令t＝，则k＝2t＋3t＋1． 4
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－3＋8k＋1因此[]＝n当且仅当2n2＋3n＋1≤k＜2(n＋1)2＋3(n＋1)＋1，n∈N． 4由于2×302＋3×30＋1＝1891，2×312＋3×31＋1＝2016，
30－3＋8k＋122
]＝∑n[2(n＋1)＋3(n＋1)＋1－(2n＋3n＋1)]－30 所以 ∑[4k=1n=1
2014
＝∑(4n2＋5n)－30
n=1
30
＝4(12＋22＋…＋302)＋5(1＋2＋…＋30)－30＝40115．
二、解答题（本题满分16分）
设数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，2Sn+1－3Sn＝2a1，n∈N*． （1）证明数列{an}为等比数列；
（2）若a1，ap (p≥3)两项均为正整数，且存在正整数m，使a1≥mp1，ap≤(m＋1) p1，
－
－
求an．
解：（1）由题意2S2－3S1 =2a1，得2a2－3a1=0．
a23
由a1≠0，得 a＝2．
1
………………………… 2分
又 2Sn+1－3Sn＝2a1，2Sn+2－3Sn+1＝2a1，
得 2an+2－3an+1＝0，n∈N*． an+23
由a1≠0，得an+1≠0，故a＝2．
n+1
所以数列{an}为等比数列． ………………………… 6分
3－
（2）由（1）知ap =a1×(2)p1．
因为a1，ap∈N*，所以a1=k×2p1，k∈N*，
－
从而ap = k×3 p1．
－
－
………………………… 10分
由a1≥mp1，ap≤(m＋1) p1，
－
得 k×2p1≥mp1，k×3p1≤(m+1) p1，
－
－
－
－
即 m≤2×作差得1≥
p－1
k，m＋1≥3×
p－1
k，
………………………… 16分
p－1
k，即k≤1，所以k＝1．
3－－
所以 an＝2p1×(2)n1．
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三、解答题（本题满分20分）
x2y2
已知动点A，B在椭圆8＋4＝1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P(－1，0)．
（1）求线段AB中点M的轨迹方程； （2）求线段AB长度的最大值．
解：（1）设点A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x0，y0)．
当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M的坐标为(－2，0)． 当AB与x轴不垂直时，
x12y12x22y22x2y2
因为点A，B在椭圆8＋4＝1上，所以8＋4＝1，8＋4＝1． 从而
(x1－x2)(x1＋x2)(y1－y2)(y1＋y2)y1－y2x0＋＝0，即＝－842y0． x1－x2
因为线段AB的垂直平分线始终过点P(－1，0)， 所以
y1－y2y0×＝－1，从而x0＝－2． x1－x2x0＋1
即线段AB中点M的轨迹方程为x＝－2，－2＜y＜2．…………………… 8分 （2）当AB与x轴垂直时，AB＝22．
1
当AB与x轴不垂直时，由（1）知，直线AB的方程为y－y0＝y(x＋2)．
0
…………………… 12分
?y－y＝y(x＋2)，由?xy得(y?8＋4＝1，
02
2
0
1
0
2
＋2)x2＋4(y02＋2)x＋2y04＋8＝0．
2y04＋8
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝2．
y0＋2从而AB＝
2y04＋81
(1＋y2)×[16－4×2])＝y0＋20
8(y02＋1)(2－y02)
y02＋2
＝22× －[(y02＋2)＋
4]＋5，其中－2＜y0＜2，且y0≠0， y0＋2
2所以AB＜22．
所以线段AB长度的最大值为22．
…………………… 20分
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四、解答题（本题满分20分）
c2＋d2
设a，b，c，d都是整数，p＝a＋b是素数．如果p|c＋d，证明：p可以表示为两2
2
2
2
个整数的平方和．
证明：因为p| c2＋d2，所以c2＋d2＝pm，其中m为整数．
c2＋d2(c2＋d2)(a2＋b2)(c＋di)(c－di)(a＋bi)(a－bi)
＝， 于是m＝p＝p2p2(c＋di)(c－di)(a＋bi)(a－bi)(ca－db)2＋(da＋cb)2
＝， 一方面，m＝p2p2（1）
(c＋di)(c－di)(a＋bi)(a＋bi)(ca＋db)2＋(da－cb)2
另一方面，m＝＝， （2） p2p2…………………………………… 10分
注意到(ca＋db)(ca－db)＝c2a2－d2b2
＝(pm－d2)a2－d2b2 ＝pma2－d2(a2＋b2) ＝p(ma2－d2)．
因为p是素数，所以ca＋db和ca－db中至少有一个数能被p整除．
……………………………… 15分
当ca－db能被p整除时，令ca－db＝pt，t是整数， 根据（1），因为m是整数，所以da＋cb也被p整除． c2＋d2
令da＋cb＝ps，s是整数，则p＝m＝t2＋s2．
c2＋d2
当ca＋db能被p整除时，同理可证：p也可以表示为两个整数的平方和．
……………………………… 20分
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