第6讲 万有引力
一、万有引力定律
F?1、公式：
GmM?1122，G?6.67?10N?m/kgr2
2、适用条件：公式只适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的尺寸时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，这时r是两球心间的距离。
3、应用万有引力定律解题的基本思想
（1）对地面上的物体，物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等．即：
mg地=GMm。2R地在空中h高处
Mmmg?=G2（R地+h）
（2）把天体看作是做匀速圆周运动的物体，其所需的向心力由万有引力提供．即：
Mmv22?G2?m?m?2r?m()2rrrT
例1．已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力．如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今自其内挖出一个半径为
R的小球，形成球形空腔的球心为O2，将小球2移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、
O3切点四点共线．求此时小球和大球剩余部分之间的引423GM23力．(球体积公式：V??R)（F?）
39R2
例2．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为引力常量G在缓慢地减小。假设月球绕地球做匀速圆周运动，且它们的质量始终保持不变，根据这种学说当前月球绕地球做匀速圆周运动的情况与很久很久以前相比（ ）
A．周期变大 B．角速度变大 C．轨道半径减小 D．速度变大 【答案】A
例3．英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量MMc2和半径R的关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速?R2G度的数量级为
A．108m/s2 B．1010m/s2 C．1012m/s2 D．1014m/s2 【答案】C
黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，
Mc2c2Mm对黑洞表面的某一质量为m物体有：G2?mg，又有，联立解得g?，?R2G2RR带入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2，C项正确。
例4．在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若忽略其它力的影响，设物体只受该星球引力作用，该物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，万有引力恒量为G，则可推算出这个星球的质量为（ ）
22v0dA. 4Gh22v0dB.
8Gh22v0dC.
2Gh222v0dD. Gh【答案】B
2v0Mm d?mgR?由v?2gh得g? 根据万有引力等于重力得：G 2R22h2022v0d由①②③解得：M? 8Gh
例5．地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体处于完全失重状态，则地球的转速应为原来的 A．g/a倍； B． C．?g?a?a倍
ga倍
?g?a?a倍 D．2【答案】B
（2?n）r要使赤道上的物体处于完全失重状物体随地球自转时F万?mg?ma，a??r?2n?态，即物体“飘”起来时F万?mg?ma?ma'?m??r?m（2?n?）r，则?n22?g?a?。
a
例6．理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零。假定地球的密度均匀，半径为R。若矿底部和地面处的重力加速度大小之比为K，则矿井的深度为( ) A. (1?K)R B.KR
C. (1?1)R D.KR K【答案】A
设矿井深度为h,矿井底部重力加速度为g?，地球质量为M，以矿井底到地球中心距离为半径的球体质量为M?，地球表面重力加速度为g，地球密度为?，由G2MmGM?mgg?得，22RRM?g?M?RGM?，因此，质量之比?g????k22M(R?h)gM(R?h)以??(R?h)3??R34343(R?h)3，所?3RR?h?k，解得h?(1?k)R。 R
例7．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（ ）
A．线速度大于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度 C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供 【答案】AB
因为和地球绕太阳运动的角速度相等，所以根据公式v??r可得线速度大于地球的线速度，
2a??r可得向心加速度大于地球的向心加速度，B正确， A正确，根据公式
飞行器的向心力由地球对飞行器的引力和太阳对飞行器的引力的合力充当，所以CD错误，
例8．在2010年青海玉树抗震救灾中，我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统，发挥了巨大作用．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中
两颗工作卫星均绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r.某时刻两颗工作卫星分别位于同一轨道上的A、B两位置(如图5－4－5所示)．若卫星均沿顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法错误的是( )
图5－4－5
gR2A．这两颗卫星的加速度大小均为2 rB．卫星甲向后喷气就一定能追上卫星乙 C．卫星甲由位置A运动到位置B所需的时间为?r 3Rr gD．卫星甲由位置A运动到位置B的过程中万有引力做功为零 【答案】B
gR2MmGMm2
选B.由G2＝mg可得GM＝gR，根据＝ma可求得加速度为a＝2，选项A
r2Rr正确；卫星甲要想追上卫星乙，卫星甲必须先减速做近地运动，然后再加速即可追上乙，选项B错误；卫星甲由A位置运动到B位置过程中，由GMm2?21＝m()r及t＝T可求得t
T6r2＝?r 3Rr，选项C正确；卫星甲由A位置运动到B位置过程中，万有引力提供卫星做圆g周运动的向心力，其方向始终与速度方向垂直，故不做功，选项D正确．
例9．我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球，假如宇航员在月球上测得摆长为L的单摆做小幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为 （ ） A、
?L3?L16?L3?L B、 C、 D、
3GrT23GrT216GrT2GrT2【答案】B
4?2LL由单摆周期公式T?2?，g??；月球表面物体的重力近似等于万有引力，2?Tgg?r2GMmM3M3?L??mg????M?，；月球的密度，选B。
r2V4?r3GrT2G
