第25讲 与圆有关的计算
命题点 近8年的命题形式 考查方向 高频考点题型呈现形式比较丰富，选择题、2018(T25(1)解)，2017(T23(2)解、填空题、解答题三种题型都有出现，弧长的扇形弧长、面积的计算 T25(3)解)，2016(T25解)，2015(T26考查侧重于对弧长公式的考查，计算较简单，解)，2014(T19填)，2013(T14选) 扇形面积的考查侧重在动态变化过程中形成的区域面积，可用多种方法进行尝试转化成求扇形面积. 侧重于有关正多边形面积的计算，一般都有技巧性，需要我们熟练掌握正多边形的各个量之间的关系，并能把正多边形进行分割与拼接.
命题点1 扇形弧长、面积的计算
1．(2013·河北T14·3分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝23.则S阴影＝(D)
22
A．π B．2π C.3 D.π
33
正多边形与圆 2014(T15选)
2
2．(2014·河北T19·3分)如图，将长为8 cm的铁丝首尾相接围成半径为2 cm的扇形．则S扇形＝4cm.
命题点2 正多边形与圆
3．(2014·河北T15·3分)如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则
S阴影
＝(C) S空白
A．3 B．4 C．5 D．6
重难点1 弧长的计算
如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．
1
(1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH；
2πa10πa(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是；第5段弧的长是；前5段弧长的和(即曲线CDEFGH
33的长)是10πa；
(3)类似地有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”…，边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的15πa和是；
2(4)猜想：
30πa①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是；
nm（m＋1）πa②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是．
n【思路点拨】 (1)以点B为圆心，BG长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a，第2段弧的半径是2a，第3段弧的半径是3a，依此下去第5段弧的半径是5a，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正n边形的性质解决．
【变式训练1】 (2018·淄博)如图，⊙O的直径AB＝6.若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为(D)
A．2π B.
8π3π4π C. D. 343
【变式训练2】 (2018·廊坊模拟)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6π．(结果保留π)
方法指导
1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．
2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．
2π×ma
模型建立边长为a的正n边形的渐开线第m段弧长为.
n
重难点2 扇形面积的有关计算
2
如图1，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到达点B′，求圆中阴影部分的面积．
图1 图2 图3
【变式1】 (2018·大庆)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针2旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为π．
3【变式2】 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转130°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是π．
3【变式3】 如图4，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是6π．
图4 图5
【变式4】 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°，此时点π3B恰好在DE上，其中点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是－．(注：所有小题结果保留π)
24【思路点拨】 阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB为半径的扇形面积；只
有变式4阴影部分的面积是S扇形ACD－S△BCE.
【自主解答】 解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°，
602
∴S阴影＝S扇形B′AB＋S半圆O′－S半圆O＝S扇形B′AB＝×π×6＝6π.
360方法指导在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：
(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；
(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；
(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．
重难点3 正多边形和圆
(2017·河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．若阴影部分的周长为10，则这个图形的外轮廓线的周长为(A)
A．18 B．183 C．22 D．223
【思路点拨】 从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．
提示：设正六边形的边长为a，则正方形的边长为2a，由题意，得5a＝10，解得a＝2.则外轮廓线的周长为3a＋2a×3＝9a＝18.
3
【变式训练3】 (2017·河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心O.若∠BOC是正n边形的一个外角，则n的值为(C)
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式训练4】 (2018·石家庄二模)正六边形ABCDEF与正三角形△ACG按如图所示位置摆放，在六边形S阴影
AGCDEF中，的值是(D)
S空白
A. B. C. D. 25151617
方法指导
1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．
360°
2．正n边形的中心角与每一个外角相等，都等于(n≥3)．
n
3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．
注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．
︵︵
1．(2018·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB)，则AB的展直长度为(B)
A．3π m B．6π m C．9π m D．12π m
2．(2018·成都)如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)
A．π B．2π C．3π D．6π
3．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)
4
