高中 精品 教案 试卷
3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且c>b>a，若向量m＝(a－b，1)
43
和n＝(b－c，1)平行，且sin B＝，则当△ABC的面积为时，b＝________．
52
答案：2
解析：由向量m和n平行知a＋c＝2b ①， 1315
由acsin B＝?ac＝ ②， 224
3
由c>b>a知B为锐角，则cos B＝，
5
222
a＋c－b3即＝ ③，
2ac5
由①②③可得b＝2.
→→
4. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O.若AO＝xAB＋→
yAC(x，y∈R)，则x＋y的值为__________．
5答案： 8
→??→ABAC?→?＋解析：∵ AO为△ABC的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO＝λ，即→→??|AB
?||AC|?
→1→1→AO＝λAB＋λAC，
23
1
λ＝x，2∴ ①
1
λ＝y.3
→→→
设AB边上的中线与AB交于点D，则AO＝2xAD＋yAC. ∵ C，O，D三点共线，∴ 2x＋y＝1 ②.
315
由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝. 848
?????
?1?1. 已知向量a＝?8，x?，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为
?2?
__________．
答案：4
1??解析：a－2b＝?8－2x，x－2?，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 2??
由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，
1??则有?8－2x，x－2?＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， 2??
?8－2x＝λ（16＋x），
?∴ ?1
x－2＝λ（x＋1）??2
?x＝4(x＝－4舍去)．
2. (2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线
→→→
段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．
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3答案： 4
11→1→1→1→1→
解析：由题意可得BE＝BA＋BO＝BA＋BD，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，222424
3
所以λ＋μ＝.
4
→→→
3. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为________．
1答案： 2
解析：∵ M为边BC上任意一点，
→→→
∴ 可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．
11→1→1→1→→→
∵ N为AM的中点，∴ AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC.∴ λ＋μ＝(x＋y)＝.
22222
4. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边
11→→→
BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
mn
7＋43答案： 4
3→→→
解析：(解法1)设AB＝a，AD＝b，则BC＝－a＋b；
4
→→→→→?3?
设BP＝λBC，则AP＝AB＋BP＝?1－λ?a＋λb.
?4?3→
因为AP＝ma＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n，
4
3
消去λ得m＋n＝1，
4
11?3??11?3nm373nm7＋43＋＝?m＋n??＋?＝1＋＋＋≥＋2·＝. mn?4??mn?4mn444mn4
(解法2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，
→→→→→
设BP＝λBC＝(－3λ，4λ)，则AP＝AB＋BP＝(4－3λ，4λ)．
3→→→
因为AP＝mAB＋nAD＝(4m，4n), 所以有 4－3λ＝4m，4λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下
4
同解法1)．
1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是惟一的．
2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方
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程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．[备课札记]
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第3课时 平面向量的数量积及平面向量的 应用举例(对应学生用书(文)、(理)77～79
页)
① 理解平面向量数量积的含义.② 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．
① 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.② 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．
1. (必修4P90习题19(2)改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x＝____________．
答案：9
2解析：由a⊥(a－b)知，a＝a·b，即5＝x－4，则x＝9.
2. 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为__________．
π答案： 6233
解析：设a与b夹角为θ，由已知，a·b＝23，|a|＝|b|＝2，cos θ＝＝.2×22
π
因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 6
π
3. (2017·苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则
3
|2a－3b|＝________．
答案：61
π2解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝（2a－3b）＝
3
4|a|2＋9|b|2－12a·b＝16＋81－36＝61.
π
4. (必修4P89习题第8(1)题改编)已知两个单位向量e1，e2的夹角为.若向量b1＝e13
－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
答案：－6
2解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e2e2－8e2.1－2e1·
π1
因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.
32
→→→→
5. (必修4P90习题21改编)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC－CA)·(BD－AD)＝0，则△ABC的形状是__________．
答案：等腰三角形
→→→→→→→→→→→
解析： (BC－CA)·(BD－AD)＝(BC－CA)·BA＝0，所以BC·BA＝CA·BA，所以acos B
22
＝bcos A，利用余弦定理化简得a＝b，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．
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