高中 精品 教案 试卷
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2. 平面向量的直角坐标运算
→→
(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝
22
（x2－x1）＋（y2－y1）.
(2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥b?x1y2－x2y1＝0.
[备课札记]
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坐标表示与坐标运算)
→→→
, 1) 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA→→
＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.
(1) 求3a＋b－3c；
(2) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
→
(3) 求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2) ∵ mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ???－6m＋n＝5，?m＝－1，∴ ?解得? ?－3m＋8n＝－5，?n＝－1.??
→→→
(3) 设O为坐标原点，∵ CM＝OM－OC＝3c， →→
∴ OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴ M的坐标为(0，20)． →→→
又CN＝ON－OC＝－2b， →→
∴ ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴ N的坐标为(9，2)， →
∴ MN＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 变式训练
如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
, 1 平面向量的
解：如图，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况：① ?ABCD；② ?ADBC；③ ?ABDC.设D的坐标为(x，y)，
→→
① 若是?ABCD，则由AB＝DC，得
(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)， ???－1－x＝－1，?x＝0，?∴ ∴ ? ?－2－y＝2，?y＝－4.??
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∴ D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1点)．
→→
② 若是?ADBC，则由CB＝AD，得
(0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)， 即(1，4)＝(x－1，y)， 解得x＝2，y＝4.
∴ D点的坐标为(2，4)(如图中所示的D2点)．
→→
③ 若是?ABDC，则由AB＝CD，得
(0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)． 解得x＝－2，y＝0.
∴ D点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D3点)．
∴ 以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0)．
, 2 向量共线充
要条件的坐标表示及应用)
→→→
, 2) 已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(5，－3)，OC＝(4－m，m＋2)．
→→?3?(1) 若D?0，m?，求证：对任意实数m，都有AB∥DC；
?2?
(2) 若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？
1→→→→→→??(1) 证明：由题意，AB＝OB－OA＝(2，1)，CD＝OD－OC＝?m－4，m－2?. 2??
→→?1?因为2?m－2?－1·(m－4)＝0，所以AB∥DC.
?2?
→→→→→→
(2) 解：AB＝OB－OA＝(2，1)，AC＝OC－OA＝(1－m，m＋6)． 若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．
→→
当A，B，C三点共线时，存在λ使AB＝λAC，即(2，1)＝λ(1－m，m＋6)，得??2＝λ（1－m），11?解得m＝－.
3??1＝λ（m＋6），
11
所以当m≠－时，点A，B，C能构成三角形．
3
变式训练 →→→
已知OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k的取值集合为__________．
答案：{1}
→→
解析：若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB与AC共线．
→→→→→→
因为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
, 3 平面向量基
本定理及应用)
, 3) 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设
→→→
AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则x，y分别为__________．
11
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11答案：，
33
→→→→→→→→?1→→?解析：令BF＝λBE，由题意，可知AF＝AB＋BF＝AB＋λBE＝AB＋λ?AC－AB?＝(1－λ)a?2?
1→→→→→→→→?1→→?1＋λb；同理，令CF＝μCD，则AF＝AC＋CF＝AC＋μCD＝AC＋μ?AB－AC?＝μa＋(1－μ)b. 2?2?2
12
1－λ＝μ，λ＝，
23→
因为a，b不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以AF＝
12λ＝1－μ，μ＝，23
1111a＋b.故x＝，y＝. 3333
备选变式（教师专享）
→1→→→2→
(2017·南通调研)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，
311
则实数m的值为________．
???????
???
3
答案： 11→→
解析：设BP＝kBN，k∈R.
→→→→→→→→→?1→→?→k→因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k?AC－AB?＝(1－k)AB＋AC，
4?4?
→→2→且AP＝mAB＋AC，
11
k283
所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
4111111
1. 已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，则c＝__________． 答案：(－23，－12)
解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，则c＝(－23，－12)．
λ
2. 如图，向量a，b，c在正方形网格中，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
μ
答案：4
解析：以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴ a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．
λ＝－2，???－1＝－λ＋6μ，?λ－2
∵ c＝λa＋μb，∴ ?解得?1∴ ＝＝4.
μ1?－3＝λ＋2μ，μ＝－，??－2?2
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