23．（2018?晋中一模）设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m． （1）作出函数f（x）的图象；
（2）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值． 【考点】绝对值三角不等式．
【分析】（1）分类讨论，作出函数f（x）的图象；
（2）求出函数的值域，即可求m的值，利用基本不等式求ab+2bc的最大值． 【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=（1﹣x）+2x+1=x+2； 当﹣＜x＜1时，f（x）=（1﹣x）﹣2x﹣1=﹣3x： 当x≥1时，f（x）=（x﹣1）﹣2x﹣1=﹣x﹣2， 函数f（x）的图象，如图所示
；
（2）由题意，当x=﹣时，f（x）取得最大值m=1.5，∴a2+2c2+3b2=1.5， ∴ab+2bc≤（a2+2c2+3b2）=，即ab+2bc的最大值为．
【点评】本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
