2011年江苏高考数学命题的几点思考
兴化教研室 张安林
对2010年是江苏省高考数学试卷的评价褒贬不一，普遍反映较难，甚至认为有部分知识点的考察过偏（有超纲之嫌），但数学人的评价可能不完全相同，因为数学人不会因为“难度分布不当，题型结构不好，“算”与“想”两者比例不尽合理” 等等而影响自己的主流判断，更不会轻易否定一份好的试卷，因为起码有两点值得肯定，一是对基础知识、基本技能的考查都基于通性通法，二是作为选拔性考试对思维层次有区分。不仅如此，数学人还会继续拷问“难的道理”是什么，课标、考试说明与教学要求的内容边界怎么界定。
其实江苏新课程独立命题三年的难易变化是有规律的，出现2010年的情况实属必然。事实上2010年是新课程卷的第三年，2008年作为改革的头一年，“求新”是当年的主题,“求稳”是2009年的核心宗旨，2010年再次唱响了“创新”的主旋律。力求创新，回归本质实属必然。一年容易一年难，是不断调整的过程，更是不断优化的机制。
第一部分 三年高考试题的回顾
一、函数 2008年 8．设直线y?1x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值是 ▲ 2y211．设x,y,z为正实数，满足x?2y?3z?0，则的最小值是 ▲
xz13．满足条件AB?2,AC?2BC的三角形ABC的面积的最大值 ▲
14．设函数f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的值为 ▲ 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设?BAO??（rad），将y表示成?的函数； （ii）设OP?x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 20．已知函数f1(x)?3x?p1，f2(x)?2?3x?p2（x?R,p1,p2为常数）．
?f(x),若f1(x)?f2(x)函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)??1
f(x),若f(x)?f(x)?212A D P O C （含边界）且与A，B管道AO，BO，PO．记
B
（1）求f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；
（2）设a,b是两个实数，满足a?b，且p1,p2?(a,b)．若f(a)?f(b)， 求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为
2009年
3.函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为 ★ . 9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2， 则点P的坐标为 ★ . 10.已知a?3b?a（闭区间[m,n]的长度定义为n?m） 25?1x，函数f(x)?a，若实数m,n满足f(m)?f(n)，则m,n的大小关系为 ★ . 219.(本小题满分16分)学科网 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的
mn满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或
m?an?a买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 (1) 求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA?(2) 设mA?3mB时，求证：h甲=h乙； 53mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ 5(3) 记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙?h0同时成立，但
等号不同时成立？试说明理由。 20．(本小题满分16分) 设a为实数，函数f(x)?2x?(x?a)|x?a|. (1) 若f(0)?1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值； (3) 设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的解集. ．．．．
2010年
5.设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________
8.函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
2?x2?1,x?011.已知函数f(x)??,则满足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范围是____▲____ ?1,x?0
x2x312.设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是_____▲____
yy22(梯形的周长）14.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,
梯形的面积则S的最小值是_______▲_______
20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a). (1)设函数f(x)?h(x)?b?2(x?1)，其中b为实数 x?1①求证：函数f(x)具有性质P(b) ②求函数f(x)的单调区间 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)，
给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|,求m的取值范围
二、三角 2008
1．若函数y?cos(?x??6)(??0)最小正周期为
?，则?? ▲ . 513．满足条件AB?2,AC?2BC的三角形ABC的面积的最大值 ▲
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角?，?，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．
已知A，B两点的横坐标分别是（1）求tan(???)的值； （2）求??2?的值．
2009
4.函数y?Asin(?x??)(A?,?,为常数，间[??,0]上的图象
如图所示，则?? ★ . 15．（本小题满分14分） 设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;学 1 225，． 105y ?? ?2?3??3 O 1 x A?0,??0)在闭区
（3）若tan?tan??16，求证：a∥b. 2010
???10.定义在区间?0,?上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直
?2?线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____ 13.在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，
batanCtanC??6cosC，则??__▲ abtanAtanB17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
三、数列 2008
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………
为 ▲
EDβ按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个数19．（1）设a1,a2,?,an是各项均不为零的n（n≥4）项等差
d?0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来
数列，且公差的顺序）是等
比数列． （i）当n?4时，求
a1的数值； dDβαBdA（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
?，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． b1，b2，2009
14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,若数列?bn?有连续四项在集合?)??53,?23,19,37,82?中，则6q? ★ . 17．（本小题满分14分） 设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2?a3?a4?a5,S7?7 2222（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得
amam?1为数列Sn中的项. am?2
