∴y＝f?∴y＝f?
?3π－x?＝sin(－x)＝－sinx，
??4?
?3π－x?是奇函数，且图象关于直线x＝π对称．
?2?4?
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
触类旁通
π
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx2＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，
可通过检验f(x0)的值进行判断．
核心规律
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式． 2π
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)
|ω|π
的最小正周期为.
|ω|
3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．
满分策略
1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列4——三角函数中的分类讨论思想
π???π?[2018·龙岩模拟]已知函数f(x)＝2asin?2x＋?＋a＋b的定义域是?0，?，值域是
6?2???[－5,1]，求a，b的值．
π?π?解题视点 ①先求出2x＋的范围，再求出sin?2x＋?的值域；②系数a的正、负影
6?6?响着f(x)的值，因而要分a>0，a<0两种情况讨论；③根据a>0或a<0求f(x)的最值，列方程组求解．
9
πππ7π
解 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
2666π?1?－≤sin?2x＋?≤1. 6?2?所以当a>0时，?
?b＝－5，?
??3a＋b＝1，
??b＝1，
当a<0时，?
??3a＋b＝－5，
解得?
?a＝2，?
??b＝－5.
??a＝－2，解得?
??b＝1.
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
答题启示 ?1?对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin?ωx＋φ?或y＝Acos?ωx＋φ?的最值，但要注意对A的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值；
?2?再由已知列方程求解；
?3?本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论，导致漏解. 跟踪训练
已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝1，即图象C；当0 最小正周期为T＝>2π，即图象A；当a>1时，三角函数的最大值为a＋1 >2，且最小正 a2π 周期为T＝<2π，即图象B. a板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 10 π??1．[2018·石家庄模拟]函数f(x)＝tan?2x－?的单调递增区间是( ) 3??A.?B.? ?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z) ?12??2122 ?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z) ?12??2122 π2π??C.?kπ＋，kπ＋?(k∈Z) 63?? π5π??D.?kπ－，kπ＋?(k∈Z) 1212??答案 B πππkππkπ5π 解析 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以 232212212π???kππkπ5π?函数f(x)＝tan?2x－?的单调递增区间为?－，＋?(k∈Z)．故选B. 3?12???2122 2．[2018·桂林模拟]若函数f(x)＝sinA.C.π 23π 2 x＋φ3 (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) B.D.2π 35π 3 答案 C 解析 ∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对称轴．∴3π3π ＝0，φ＝3kπ＋，当k＝0时，φ＝.选C项． 22 x＋φπ 3 ＝＋kπ，令x2 ?ππ?3．[2018·福州模拟]下列函数中 ，周期为π，且在?，?上为减函数的是( ) ?42? π??A．y＝sin?2x＋? 2?? π??B．y＝cos?2x＋? 2?? ?π?C．y＝sin?x＋? 2?? 答案 A ?π?D．y＝cos?x＋? 2?? π???ππ?解析 对于选项A，注意到y＝sin?2x＋?＝cos2x的周期为π，且在?，?上是减 2???42?函数．故选A. π?π?4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f?? 4?12?的值是( ) A．0 C．1 B. 3 3 D.3 11 答案 D πππ?π??π?解析 由条件可知，f(x)的周期是.由＝，得ω＝4，所以f??＝tan?4×?＝4ω4?12??12?π tan＝3. 3 ?π?5．函数y＝2sin?－2x?(x∈[0，π])的增区间是( ) ?6??π?A.?0，? 3?? C.? B.?D.? ?π，7π? ??1212??5π，π? ? ?6? ?π，5π? 6??3? 答案 C π?ππ3π?π??解析 ∵y＝2sin?－2x?＝－2sin?2x－?，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 6?262?6??5ππ5π?π?解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为?＋kπ，＋kπ?，k∈Z，∴当 636?3? ?k＝0时，增区间为?，π5π?. 6??3? 6．[2018·深圳模拟]函数y＝log1 cosx的一个单调减区间是( ) 2A．(－π，0) B．(0，π) ?π?C.?0，? 2?? 答案 D ?π?D.?－，0? ?2? 解析 首先应保证cosx＞0 ①；函数y＝log1 cosx的单调减区间，即函数μ＝cosx2的单调增区间 ②.易知只有选项D符合①②. π 7．[2018·郑州模拟]如果函数y＝3sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则|φ| 6的最小值为( ) A.C.π 6π 3 B.D.π 4π 2 答案 A ?π?解析 由题意，得sin?2×＋φ?＝±1. 6?? πππ 所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ(k∈Z)， 326π故|φ|min＝. 6 12
