M A
D G
B
C （图1）
B O E （图2） A F C B D A F O E （图3）
C B D A F O E （图4）
C N
【关键词】等边三角形
证明：如图1，Q△ABC为等边三角形 ??ABC?60°
QBC?MN，BA?MG ∴?CBM??BAM?90°
??ABM?90°-?ABC?30?
M A
G
B
C （图1）
??M?90?-?ABM?60?N
同理：?N??G?60? ?△MNG为等边三角形． 在Rt△ABM中，BM?ABa23??a
sinMsin60?3在Rt△BCN中，BN?BCa3??a tanNtan60?3?MN?BM?BN?3a
（2）②：结论1成立．
A D
O F C 证明；方法一：如图2，连接AO、BO、CO
B
E H
（图2）
由S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC＝作AH?BC，垂足为H，
1a?OD?OE?OF? 2则AH?ACsin?ACB?a?sin60??3a 2?S△ABC?113BC·AH?a·a 222113?a?OD?OE?OF??a·a 222?OD?OE?OF?3a 2方法二：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点 H作HM⊥BC于点M， ??DGO??B?60°，?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH QOE⊥BC ?OE∥HM
?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE
·sin?DGO?OG·sin60??在Rt△ODG中，OD?OGA D G B
F H M C
3OG 2O E
·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△OFH中，OF?OH3OH 2·sinC?HC·sin60??在Rt△HMC中，HM?HC3HC 2?OD?OE?OF?OD?HM?OF?333OG?HC?OH 222333?GH?HC??AC?a 222 ?M A D F?
F O E
E?
D? B
C G
N
（2）②:结论2成立．
证明：方法一：如图４，过顶点A由（1）得△MNG为、B、C依次作边AB、BC、CA的垂线围成△MNG，等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F? 由结论1得：
OD??OE??OF???33MN??3a?a ?22又QOD?AB，AB?MG，OF??MG
??ADO??DAF???OF?A?90? ?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理：OD??BE，OE??CF
?AD?BE?CF?OD??OE??OF??方法二：（同结论1方法二的辅助线）
A D G B
F H 3a 2O
E M C （图3） 在Rt△OFH中，FH?OF3?OF
tan?OHF3在Rt△HMC中，HC?HM23?OE sinC3?CF?HC?FH?233OE?OF 33同理：AD?233233OF?OD，BE?OD?OE 3333?AD?BE?CF
＝233233233OF?OD?OD?OE?OE?OF 333333＝3?OD?OE?OF?
由结论1得：OD?OE?OF?3a 2A D O B E
（图5）
C F
?AD?BE?CF?3?33a?a 22方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE2?OE2?OB2?BD2?OD2①
CF2?OF2?OC2?CE2?OE2② AD2?OD2?AO2?AF2?OF2③
①+②+③得：
BE2?CF2?AD2?BD2?CE2?AF2
?BE2?CF2?AD2??a?AD???a?BE???a?CF?
?a2?2ADga?AD2?a2?2BEga?BE2?a2?2CFga?CF2
整理得：2a?AD?BE?CF??3a
22223?AD?BE?CF?a 12分
2
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；
（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
C E A
P
B
【关键词】圆的性质，三角形相似的性质
【答案】解：QAB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°．
