因为当x
?0时sinx~x，tanx~x，所以 limx?0tanx?sinxx3?limx?0x?xx3?0
问题2 tanx~sinx(x?0)，两者都是x的一阶无穷小。 但它们之差tanx?sinx却是x的三阶无穷小。
是否两个x的一阶等价无穷小之差总是x的三阶无穷小？
试考察例子： f(x)?x?3x2?3x3， g(x)?x?2x2?3x3， 当x?0时f(x)和g(x)都是x的一阶等价无穷小，但 limx?0f(x)?g(x)x2?lim3x2?2xx22x?0?1
即 f(x)?g(x)是x的二阶无穷小。
问题3 两个同价无穷小之差是否一定是一个更高阶的无穷小。
试考察例子： 当x?0时 但
f(x)?5x?3xf(x)2?3x3，
g(x)?x?2x2?3x3
和g(x)都是x2的一阶无穷小，
f(x)?g(x)?4x?x仍是x的一阶无穷小。
若f(x)和
g(x)是等价无穷小量，则
f(x)?g(x)是比其自身更高阶无穷小量。
事实上 limf(x)?g(x)f(x)x?x0?1?limg(x)f(x)x?x0?0
例5 求极限limln(1?2x)tanx22．
2x?0 解 因为 ln(1?2x)～2x2(x?0)
sinx～x(x?0)， 所以 limx?0ln(?12x22tanx)2x＝lim2＝2 x?0x2
总起来说，无穷小量的比较是用它们趋向于0的速度快慢来衡量的．这个观念是分析中十分重要的观念，现在还不能很好体会．以后学多了，便会逐步加深理解．
无穷小量的阶是无止尽的．换句话说，任一无穷小量都存在比它更高阶的无穷小量，也存在比它更低阶的无穷小量．
下面的数列中，后者是比前者更高阶的无穷小量；而且，相邻的两个无穷小量之间还可插入无穷小量，使得后者是比前者更高阶的无穷小量．
1111111…{}，{}， {}， {n}， {}，{n}，{nn}，…
lnlnnlnnnen!nn ? ? ?
{
1lnn2} {
1n2} {
13n}
根据无穷大量与无穷小量互为倒数的关系，
当x?x0时，若f(x)是比g(x)更高阶的无穷小量， 则
1f(x)g(x)因此完全类似地可以讨论无穷大量的比较，在这里不再叙述了.
是比
1更高阶的无穷大量。
