线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．
(1)设P是△ABC所在平面内一点，→
BC＋
→
BA＝2BP→
，则( )
A.→PA＋→
PB＝0 B.→PC＋→PA＝0 C.→PB＋→
PC＝0
D.→PA＋→PB＋→PC＝0
解：如图，根据向量加法的几何意义有→BC＋→
BA＝2→BP?P是AC的中点，故→PC＋→
PA＝0.故选B.
(2)(2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则→EB＋→
FC＝( )
A.→
AD
B.1→2
AD C.→
BC
D.1→2
BC 解：→EB＋→FC＝1→→2(AB＋CB)＋12(→AC＋→BC)
＝12
(→AB＋→AC)＝→
AD.故选A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用
已知A，B，C是平面内三个不相同的点，
O是平面内任意一点，求证：向量→OA，→OB，→
OC的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得→OC＝λ→
OA＋μ→
OB，且λ＋μ＝1.
证明：(1)先证必要性．
若→OA，→OB，→OC的终点A，B，C共线，则→AB∥→BC， 所以存在实数m使得→BC＝mAB→，即→OC-→OB＝m(→
OB-→OA)，
所以→OC＝-mOA→＋(1＋m)→OB.
令λ＝-m，μ＝1＋m，则λ＋μ＝-m＋1＋m＝1， 即存在实数λ，μ，使得→OC＝λ→OA＋μ→
OB，且λ＋μ＝1.
(2)再证充分性．
若→OC＝λ→OA＋μ→
OB，且λ＋μ＝1，
则→OC＝λ→OA＋(1-λ)→OB，
所以→OC-→OB＝λ(→OA-→OB)，即→BC＝λ→BA， 所以→BC∥→
BA，又BC与BA有公共点B，
所以A，B，C三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立．
【点拨】证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使→AB＝λ→
BC.但证明两条直线AB∥CD，除了证明存在一个实数λ，使→AB＝λ→CD外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．
(1)已知向量a，b，且→AB＝a＋2b，→
BC＝
-5a＋6b，→
CD＝7a-2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C C．B，C，D
D．A，C，D
解：→BD＝→BC＋→
CD＝(-5a＋6b)＋(7a-2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2→
AB，所以A，B，D三点共线．故选A.
(2)设两个非零向量a与b不共线，若ka＋b和a＋kb共线，则实数k＝________.
解：因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.所以(k-λ)a＝(λk-1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以k-λ＝λk-1＝0，所以k2
-1＝0.所以k＝±1.故填±1.
(3)如图，在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点．若→AN＝λ→AB＋μ→
AC，则λ＋μ的值为( )
A．1
B．12
3
C．1
4
D．1
解：由N为AM的中点，可得→AN＝1→2AM＝λ→AB＋μ→
AC，
整理得→AM＝2λ→AB＋2μ→
AC，由B，M，C三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝1
2
.故选A.
1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|?/ a＝±b；
(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(4)对于任意非零向量a，
a|a|是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；
(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；
(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得
出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．
2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．
4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在
三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减
法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．
5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线?存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：
(1)当a＝0时，a与任一向量b都是共线的； (2)当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线．
因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都
成立，我们要求a≠0.换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使
a|a|＝
b|b|
成立的充分条件是( ) A．a＝-b B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b且|a|＝|b|
解：由题意ab|a|＝|b|表示与向量a和向量b同向
的单位向量相等，故a与b同向共线．故选C.
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝
a-b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝-1且c与d同向 D．k＝-1且c与d反向
解：因为c∥d，所以存在实数λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ(a-b)，所以???k＝λ，??k＝-1，
??1＝-λ， 解得???
λ＝-1. 此
时c＝-d.所以c与d反向．故选D.
3．已知O，A，M，B为平面上四点，且→OM＝λ→
OB＋(1-λ)→
OA，实数λ∈(1，2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O，A，M，B四点一定共线
解：由题意得→OM-→OA＝λ(→OB-→OA)，即→AM＝λ→
AB.又λ∈(1，2)，所以点B在线段AM上．故选B.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2→OA＋→OB＋→
OC＝0，则( )
A.→AO＝2→OD B.→AO＝→OD C.→AO＝3→OD
D．2→AO＝→OD
解：因为D为BC的中点，所以由2→OA＋→OB＋→
OC＝0得→OB＋→OC＝-2→OA＝2→AO，即2→OD＝2→AO，所以→AO＝→OD.故选B.
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且→DC＝2→BD，→CE＝2→EA，→AF＝2→FB，则→AD＋→
BE＋→
CF与BC→
( )
A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解：由题意得→AD＝→AB＋→BD＝→AB＋1→
3BC，
→BE＝→BA＋→AE＝→BA＋1→3
AC，
→
CF＝CB→＋BF→＝CB→
＋1BA→3
，
因此→AD＋→BE＋→CF＝→CB＋1→→→
3(BC＋AC-AB)
＝→CB＋2→1→3BC＝-3
BC，
故→AD＋→BE＋→CF与→
BC反向平行．故选A.
6．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若→EF＝mAB→＋nAD→
(m，n∈R)，则mn的
值为( )
A．-2
B．-12
C．2
D.12
解：设→AB＝a，→AD＝b，则→EF＝ma＋nb，→BE＝→AE-→AB＝12b-a，由向量→EF与→
BE共线可知存在非零实数λ，使得→EF＝λ→
BE，即ma＋nb＝12
λb-λa，又a与b不共线，
?m＝-λ，则??m??n＝12
λ， 消去λ得n＝-2.故选A.
7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，→
AD＝1→→2→→→→
2AB，BE＝3BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解：→DE＝→BE-→BD＝2→1→2→→1→1→
3BC-2BA＝3(AC-AB)＋2AB＝-6AB＋2→
3
AC， 因为→DE＝λ→→
AC，所以λ121AB＋λ21＝-6，λ2＝3，
从而λ11
1＋λ2＝2.故填2
.
8．已知D为△ABC的BC边上的中点，点P满足→
PA＋→BP＋→CP＝0，→AP＝λ→
PD，则实数λ的值为________．
解：→PA＋→BP＋→CP＝0，则→CA＋→BP＝0，即→CA＝→
PB，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，如图所示．
→1→→1→
11．如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，
42
→→
因此AP＝-2PD，则λ＝-2. 故填-2.
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表
→
示向量OM.
→→
M，N分别是DC和AB的中点，若→AB＝a，→
AD＝b，试用a，b表示→BC和→
MN.
解：→BC＝→BA＋→AD＋→
DC＝-a＋b＋112a＝b-2a.
→MN＝→MD＋→DA＋→AN＝-1
4a＋(-b)＋12a＝14a-b.
10．设两个非零向量a与b不共线．
(1)若→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→
CD＝3(a-b)，求证：
A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线． 解：(1)证明：因为→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→
CD＝3(a-b)，
所以→BD＝→BC＋→
CD＝2a＋8b＋3(a-b) ＝2a＋8b＋3a-3b＝5(a＋b)＝5→
AB. 所以→AB，→
BD共线，
又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k-λ)a＝(λk-1)b，因为a，b是不共线的两个非零向量，
所以k-λ＝λk-1＝0，即k2
-1＝0，所以k＝±1.
解：因为A，M，D三点共线， 所以→OM＝λ→→1OD＋(1-λ1)OA ＝1
2λ1b＋(1-λ1)a，① 因为C，M，B三点共线，
所以→OM＝λ→λ→
1-λ22OB＋(1-2)OC＝λ2b＋4a，②
??12λ＝λ，??λ
1
＝6
1
2
7，由①②可得???1-λ＝1-λ
解得2
?3 1
4，??λ
2＝7
.故→OM＝137a＋7
b.
设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两
两不同的四点，若A→＝λA→，A→→
1A31A2(λ∈R)1A4＝μA1A2(μ∈R)，且1λ＋1
μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.
已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 解：若C，D调和分割点A，B，则→AC＝λ→
AB(λ∈R)，→
AD＝μAB→
(μ∈R)，且1＋1λμ
＝2.对于选项A，若C是
线段AB的中点，则→AC＝1→
2AB?λ＝12?1μ＝0，故A选
项错误；同理B选项错误；对于选项C，若C，D同时
