专题五 图形运动中的函数关系问题
【考题研究】
在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.
【解题攻略】
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．
产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．
由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．
类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．
类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．
由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．
关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
【解题类型及其思路】
图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．
计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．
一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．
【典例指引】
类型一 【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】
【典例指引1】如图，在?ABC中，?A?90o，AB?3，AC?4，点M,Q分别是边AB,BC上的动点（点M不与A,B重合），且MQ?BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设
BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有?QBM∽?ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
【举一反三】
如图1，在矩形ABCD中，AB?8，AD?10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且?DMN??DAM，设AM?x，
DN?y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使VDMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】
【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线y?x?4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线
y?ax2?3x?c经过A,C两点，并且与x轴交于另一点B.点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A,C重
合)，过点D作DF?x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE.设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当?ECD??EDC时，求出此时m的值;
(3)点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明
理由. 【举一反三】 如图，直线y=﹣经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
x+
y轴交于B、C两点，∠ACB=90°分别与x轴、点A在x轴上，，抛物线y=ax2+bx+
类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】
2【典例指引3】如图，抛物线y?ax?bx?3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C．并且A，B两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)
（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为_______；③直线BD的解析式为______；
（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？
（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交x轴于点N．当点M的坐标为_______时，四边形MNAC是平行四边形．
