第四章 矩阵的特征值和特征向量
60??4??并判断它能否相似对角化。
例1 求下列矩阵的特征值与特征向量A??3?50，若能，
?????3?61??求可逆阵P，使PAP??（对角阵）。
例2 已知三阶方阵A的三个特征值为?2,3,4，则A的特征值为_______，A的特征值为_______，A 的特征值为_______，A?3A?2E的特征值为_______
*?1T?12?001???例3 设矩阵A?x1y 有三个线性无关的特征向量，则x,y应满足条件_______ ????100???200??200?????例5 已知矩阵A?002与B?0y0相似，则x?______y?______ ???????00?1???01x??例6 设n阶方阵A满足A?3A?2I?0，求A的特征值
2?211????1例7 已知向量??(1,k,1)T是矩阵A?121的逆矩阵A的特征向量，求常数k
????112??例8 设A为非零方阵，且A?0 (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似 例9 设n阶方阵A满足A?7A?10I?0，求证：A相似于一个对角矩阵
结
2m论 总结
1 n阶方阵A有n个特征值，它们的和等于A的主对角线元素之和(即A的逆trA)，它们的乘积等于A的行列式A 2 如果?1,?,?m是方阵A的特征值，P1,?,Pm是与之对应的特征向量，如?1,?,?m互不相等时，P1,?,Pm线性无关
3 如果n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值
4 如果n阶方阵A与对角阵?相似，则?的主对角线元素就是A的n个特征值
5 n阶方阵A与对角阵?相似，即A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
1
6 如果n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似，即A可相似对角化 7 实对称矩阵的特征值全为实数
8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交
9 对实对称矩阵A?An?n，必存在正交矩阵P，使PAP??，其中?是以A的n个特征值为主对角线元素的对角阵
10 方阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零
习 一 填空题
1 设A为3阶矩阵，其特征值为3,?1,2，则A=________ A的特征值为________，
?1?1 题
2A2?3A?E的特征值为________
2 如果二阶矩阵A???712??13? 相似，则 x?_____y?_____ ,B?????yx??24??13 若n阶可逆阵A的每行元素之和是a(a?0)，则数________一定是2A?E的特征值
4 设三阶矩阵A有3个属于特征值?的线性无关的特征向量，则A?______ 5 若A?E，则A的特征值为________
6 设n阶方阵A的n个特征值为1,2,?,n，则A?I?_______
2?101???7 设A?021 n?2，则An?2An?1?_______ ????101???1?4?8 A??0??0??二 选择题
??12??10? 则 limAn?______
n??5?1?06???123???1 设矩阵A?xyz A的特征值为1,2,3，则( ) ????001??A）x?2,y?4,z?8 B) x?1,y?4,z?R C) x??2,y?2,z?R D) x?1,y?4,z?3
2
2 已知矩阵???2230???5????有一特征向量，则x?(?????12x??3?)
A) ?18 B) ?16 C) ?14 D) ?12
?1?3 设A?2????3特征向量，则x??11?4x?? A有特征值?1?6,?2?2 (二重 )，且A有三个线性无关的?35??______
A) 2 B) ?2 C) 4 D) ?4
4 若A~B(等价 )，则有( )
A）?I?A??I?B B) A?B
C) 对于?，矩阵A与B有相同的特征值与特征向量 D) A与B均与一对角矩阵相似 5 已知矩阵A的各列元素之和为3，则( )
A) A有一个特征值为3，并对应一个特征向量(1,1,?,1)T B) A有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量(1,1,?,1)T C) 3不一定是A的特征值 D) A是否有特征值不能确定 6 设A是三阶矩阵,有特征值1,?1,2,则下列矩阵中可逆的是( ) A) I?A B) I?A C) 2I?A D) 2I?A 三 解答题
1. 设三阶矩阵A的特征值为
?1?1,?2?2,?3?3，对应的特征向量依次为：
?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,4)T，?3?(1,3,2)T，又向量??(1,1,3)T
1) 将? 用?1,?2,?3线性表示 2) 求An? (n为自然数)
?2x1???1002 已知A?030 有3个线性无关的特征向量，求A
????3?60???122???3. 设A?212 求A的特征值与对应的特征向量，A是否对角阵相似。若相似，写????221??10T出使PAP??的矩阵P及对角阵?，并计算A(1,3,2)，A
?15?2?12???，已知*b34. 设A?5，A的伴随矩阵A的特征值?0对应的特征向量A??1?????10?2??
3
??(?1,?1,1)T，求?0和b的值
四、证明题
1设?为n维非零列向量，??(a1,a2,?,an)T,A???T证明： 1） A?kA (k为某常数) 2)
2?是A的一个特征向量。 3) A相似于对角阵。
2 设n阶方阵A有n个对应于特征值?的线性无关的特征向量，则A??E。 3 设n阶方阵A的每行元素之和都为常数a，求证：
1) a为A的一个特征值； 2) 对于任意自然数m，A的每行元素之和都为a 4 设三阶方阵A的三个特征值
mm?1,?2,?3互异，分别对应于特征向量?1,?2,?3 证明：
?1??2,?1??2??3 都不是A的特征向量。
5 设A，B为n阶方阵，证明：AB,BA都有相同的特征值。
6 设?1,?2是A的两个不同的特征值， ?是对应于?1的特征向量，证明： ?不是?2的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。
答 案
1312 ；2A?3A?E的特征值为：10,6,3； 2?1一、1 ?6 A 的特征值为：,?1,???2A??1 ； 4. 2. x??2,y??1 ； 3. ?a??5. ?1 6. (n?1)! 7. 0 8. 0 二、 1B 2B 3 B 4 B 5 A 6 D 三
???? ????2?2n?1?3n??nn?1n?1?1 ??2?1?2?2??3， A???2?2?3? ?2?2n?3?3n?2????3101?12?3100?23100?1??1?1?1?1???1104?31000?; 3 P??2 ?0??4101100100?3?3?6?3?6??3?101?????500??
???0?10????00?1?? 4
1?1042?103??12?5?1???1??A10?3???2?510?1?,A5??1041???310??22?5???????1?10413? 4
1104131104231104131?1041?3?1?1041
3?1?1042?3??0?1,b??3
四、提示
1 略 2 略3 略 4 略 5 若AB有特征值0，则AB?0，从而BA?0即BA也有0为其特征值，若BA有??0为其特征值，令相应的特征向量为?(?0) 则BA????，两边右乘A，有AB(A?)??(A?) 则必有??A??0（否则，???0从而??0，与假设矛盾），从而有AB????，即?也是AB的特征值，从而AB与BA的特征值一一对应，从而AB与BA有相似的特征值。 6 反证法
5
