翔宇小学生俱乐部五年级奥数培优（专项练习）
第五讲 最大公因数与最小公倍数 （教师版）
理论部分 基本概念： 1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．叫做这几个数的最大公约数。 ．．．．．．．．．．．． 例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。 一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。 2、公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，? 18的倍数有18，36，72，90，? 12和18的公倍数有：36，72?其中36是12和 18的最小公倍数。 一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。 3、最大公约数与最小公倍数的求法
A．最大公约数 求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法 前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。 当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。 B．最小公倍数 求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法 （4）a×b=（a,b）×[a,b] 上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。 典型例题与练习
例1、437与323的最大公约数是多少？
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练习
6933的最简分数是多少？
25421
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？
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例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪 块。
（北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题） 【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以
原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块） 解：（１）求90和42的最大公约数 2 90 42 3 45 21 15 7 （90，42）＝60 （2）求至少剪多少块正方形铁板 90÷6＝15 45÷6 ＝7
15×7＝105（块） 答：至少可以剪105块正方形铁板。
说明：用短除法求小数的最大公约数比较容易。 练习
用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
2、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。问：评出的优秀学生最多有几人？
例4、10个自然数之和等于1001，求这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？
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练习
1、66个自然数的和是6666，这66个数的最大公约数最大能是多少？
2、3个数的和是1111，这3个数的最大公约数可能是多少？
二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工待料。
例5、甲、乙、丙三人定期向王老师求教。甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。如果6月17日他们三人都在王老师家见面，那么下一次三人都在王老师家见面的时间是几月几日？
例8、有一堆苹果共五千多个，按10个装一袋，装到最后少一个；9个装一带，最后还少1个；按8个，7个，?，2个装一袋，总是少1个。这堆苹果到底有多少个？
例6、有甲、乙两个互相衔接的齿轮，甲轮有437齿，乙轮有323齿，甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触，需要各转几周？
例9、能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？
例7、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个，第
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