概率论与数理统计作业习题解答 （高教第四版）
第一章第一章 概率的基本概念概率的基本概念 习题解析习题解析 第第 11、、22题 题 随机试验随机试验、样本空间、样本空间、随机事件、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------- 1．写出下列随机试验的样本空间：
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上 “次品”，如连续
查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4 ）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解解 （1）高该小班有n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，?，100，n 解解
0 1 100n
个人分数这和的可能取值为0，1，2，?，100n，平均分数的可能取值为 , ,..., , 则
n n n 样本空间为
?k ? S= ? k = 0,1,2,?,100n? ?n ?
（2）样本空间S={10，11，?}，S 中含有可数无限多个样本点。 （3）设1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为 S={ （0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1， 0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1， 1，0），（1，1，1，1）}
例如 （1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。 （4 ）设任取一点的坐标为 （x，y），则样本空间为
2 2
S (x, y) x + y ≤ 1 { }
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2．设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生；
（2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生；
（4 ）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生；
（6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。
解解 此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的 “交”；“至少”表示事件的 “并”；“不多 解解
于”表示 “交”和“并”的联合运算。
（1）ABC 。（2）AB C 或AB—C。
（3）A ∪B ∪C。
（4 ）ABC。
（5）ABC 。
（6 ）A ， B ， C 中 不 多 于 一 个 发 生 为 仅 有 一 个 发 生 或 都 不 发 生 ， 即
A BC ∪ABC ∪ABC ∪ABC ，A，B，C 中不多于一个发生，也表明A,B,C 中至少有两
个发生，即AB ∪BC ∪AC ∪ABC 。
（7）A，B，C 中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示 为
ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC
而 ABC 表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为
ABC = A ∪B ∪C 。
（8）A，B，C 中至少有两个发生为A，B，C 中仅有两个发生或都发生，即为
ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC
也可以表示为AB BC AC。 ∪ ∪
第第3.3.（（11）、）、6、6、88、、99、、1010题 题 概率的定义概率的定义、概率的性质、概率的性质、古典概型、古典概型 第第33.. （（11）、）、66、、88、、99、、1010题题 概率的定义概率的定义、、概率的性质概率的性质、、古典概型古典概型
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1 1 3．（1）设 A，B，C 是三件，且P(A) = P(B) = P(C ) = ,P(AB) = P(BC ) = 0,P(AC ) = , 4 8 求A，B，C 至少有一个生的概率。
解解 利用概率的加法公式 解解
3 1 5 P(A ∪B ∪C ) = P(A) + P(A) + P(C ) ? P(AB) ? P(BC ) ? P(AC ) + P(ABC ) = ? =
4 8 8
其中由P(AB) = P(BC ) = 0, 而ABC ? AB 得P(ABC ) = 0 。
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6．在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选3 人记录其纪念章的号码。 求
（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率。
解 解 利用组合法计数基本事件数。从 10 人中任取 3 人组合数为C3 ，即样本空间
解解 10
S= C3 = 120个基本事件 。
{ 10 } （1）令事件A={最小号码为 5}。最小号码为5，意味着其余号码是从6，7，8，9，10 的5
个号码中取出的，有C2 种取法，故A= C2 = 10个基本事件 ，所求概率为
5 { 5 }
5!
C2 2!3! 10 1 P(A) = 5 = = = C3 10! 120 12 10
3!7!
（2）令事件B={最大号码为 5}，最大号码为5，其余两个号码是从 1，2，3，4 的4 个号码
2 2
中取出的，有C 种取法，即B= C 个基本事件 ，则 4 { 4 }
4!
C2 2!2! 6 1 P(B) = 4 = = = C3 10! 120 20 10
3!7!
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8．在1 500 个产品中有400 个次品，1 100 个正品。从中任取200 个。求 （1）恰有90 个次品的概率； （2）至少有2 个次品的概率。
解解 （1）利用组合法计数基本事件数。令事件A={恰有 90 个次品}，则 解解
C90 C110 P(A) = 400 1100 C200 1500
（2）利用概率的性质。令事件B={至少有2 个次品}，Aι = {恰有i 个次品}，则
B = A ∪A ∪A ,AiAi = ?(i ≠ j) 2 3 200
所求概率为
200
P(B) = P(A ∪A ∪?∪, A ）= ∑P(A ) 2 3 200 i i=2
显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B ={恰有 0 个次品或恰有
