（Ⅲ）设，则，平面的一个法向量为
∴
当，即时，取得最大值，且．
【点睛】
本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题.
4．【湖北省重点高中联考协作体2019届高三上 期期中考试】如图，在四棱锥
，且
，
.
中，
平面
，
（1）求证：（2）在线段
；
上，是否存在一点，使得二面角
的大小为
，如果存在，求
的值；如果不
存在，请说明理 由. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件可得到
平面
，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量
进而得到向量夹角的余弦值【详解】
(1)证明：如图，由已知得四边形
是直角梯形，
，解出t值即可.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，则
设
，得
又
是平面
，则的坐标为
，则可取
的一个法向量，
设
是平面
的一个法向量，则
所以【点睛】
，
这个题目考查了异面直线垂直的证明，常见方法，可以将两个异面直线平移到同一平面，或者通过证明线
面垂直来证线线垂直,也考查到二面角的应用，传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.
5．【上海市奉贤区2018届高三下 期调研测试】已知几何体视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形. （1）求几何体
的体积；
的三视图如图所示，其中左视图和俯
（2）求直线CE与平面AED所成角的大小.
【答案】(1)
；(2)
.
(2)分别以
、
所以设平面
、、、，
方向为、、轴建立空间直角坐标系，则：
、
，，
.
的法向量为
∴
.
于是可以取
设与平面所成的角为，则：.
∴与平面所成的角为.
点睛：本题主要考查空间几何体体积以及用空间向量求直线与平面所成的角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
6．【江苏省苏州市2018届高三调研测试】如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB
BP
2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得原点，分别以
平面
，所以直线
为平面
，两两垂直，以为的一个法向量，利
（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。
为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,
用向量垂直的性质列方程组求出平面
，
的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）设
．由（1）知，平面
的一个法向量为
，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
试题解析：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP
AB，BP⊥AB，
