以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19) ＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
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当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200
＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04 ＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 2．[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分．
32
已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影
43响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD. 由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD) ＋P(ABCD) ＋P(ABCD)
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)
3232123231322
＝×××＋2××××＋×××＝. 43434343434332所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. 3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝34
1143111
，
431441111343431314343
211105
＝，
343144721212311243434343
1225
，
43144
P(X＝1)＝2××××＋×××＝
3143
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝
- 10 -
P(X＝3)＝×××＋×××＝34
23133434
32431111434332121
＝，
4314412212605
＝，
34314412
P(X＝4)＝2××××＋×××＝P(X＝6)＝×××＝3243
32361
＝. 431444
可得随机变量X的分布列为
X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4所以数学期望E(X)＝0×
152515123＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 14472144121246
课外拓展阅读
离散型随机变量的分布列答题模板
[典例] 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
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[解] (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P1＝×＝.
5410(2)由题意，X的可能取值为200,300,400. 2×11
则P(X＝200)＝＝；
5×410
P(X＝300)＝
3×22×3×23
＋＝；
5×4×35×4×310
35
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝.
∴X的分布列如下：
X P 200 1 10300 3 10400 3 5[答题模板] 求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤： 第一步：找出随机变量X的所有可能取值；
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第二步：求出X取每一个值时的概率； 第三步：列出分布列．
(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．
(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．
(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1. 方法点睛
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