证明：x服从[0,1]的均匀分布。
二十、证明：设Q(x)=P(x 根据题意：对任意的x,y?[0,1]，有 P(x 。。。。。2分 y)=P(x Q(x+y)=Q(x)+Q(y), 。。。。。。2分 考虑到Q(x)为x的增函数，这样类似于教材P98页引理２.4.1的证明，我们可以证得： Q(x)=kx，其中k为一常数． 。。。。。。4分 又因为Q(1)=1，故k=1．因此，Q(x)=x,x [0,1] 即 x服从[0,1]的均匀分布． 。。。。。。1分 二十一、（共15分）设x与h相互独立且服从同一几何分布，令z=max{x,h}，求 （1）(z,x)的联合分布律； （2）z的分布； （3）x关于z的条件概率分布。 二十一、解：（1）为求(?,?)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k?1)其中利用到独立性。 （a）i?k ?k?kP{??k,??k}?P??(??k,??j)???P{??k,??j} ?j?1?j?1 ?(b)i?k 。。。。。2分 P{??k,??i}?P{??i,??k}?p2qi?k?2； 。 (c)i?k ?pq2j?1kk?j?2?pq2k?11?qk。。。。。2分 ??pqk?1(1?qk)； 。 1?q。。。。。2分 {??k,??i}??,P{??k,??i}?0 。 (2)因为??max(?,?)，所以 。。。。。2分 {??k}??{??i,??k}??{??k,??j} 。 i?1j?1k?1kP{??k}??P{??i,??k}??P{??k,??j}??pqi?1j?1i?1k?1kk?12i?k?2??p2qk?j?2 j?1k ?pq2k?1?1?qk?11?qk?k?1kk?1????(2?q?q)pq (k?1,2,?) 1?q??1?qP{??i,??k} 。。。。。。2分 P{??k} 。。。。。。2分 （3）P{??i|??k}??pqk?1(1?qk)1?qk?pqk?1(2?qk?1?qk)?2?qk?1?qk,i?k??p2qi?k?2pqi?1???k?1?,i?k,(i,k?1) k?1kk?1k?pq(2?q?q)2?q?q?0,i?k??? 。。。。。。3分 二十二、设f(x)(0?x+ )为单调非降函数，且f(x)>0。对随机变量x，若 Ef(|x|)<+ ，证明：对任意的a>0，有P{|x|常a} 1Ef(|x|). f(a)二十二、解：设x的分布函数为F(x)，根据数学期望的定义，注意到f(x)的单调非降性， 可知：对任意的a>0，有 Ef(|x|)=3ò+ - 。。。。。2分 f(|x|)dF(x) 。 |x|3aòf(|x|)dF(x) 。。。。。。2分 匙f(a)ò1dF(x) 。。。。。。2分 |x|3a。。。。。2分 =f(a)P{|x| a}. 。 最后由f(a)>0可知结论成立。 。。。。。。2分 二十三、若x,h相互独立，均服从N(a,s2)，证明： Emax{x,h}=a+ s. p?(x?a)2(y?a)2?二十三、解：?1,?2的联合密度为p(x,y)?exp??。。。。。2分 ??， 。222?2???∴ Emax(?1,?2)?。。。。。2分 ??max(x,y)p(x,y)dxdy 。 ?????dx?x??。。。。。2分 xp(x,y)dy??dx?yp(x,y)dy 。 ??x????（利用密度函数的积分值为1，减a再加a） ??dx?(x?a)p(x,y)dy??dx?(y?a)p(x,y)dy?a ??????x?x（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号） ??dy?(x?a)p(x,y)dx??dy?(y?a)p(x,y)dx?a ??y??y???? 。。。。。。2分 ?a?2??a?另证：设 ??max{???12??2e?(y?a)22?2dy?(x?a)ey??(x?a)22?2dx (令(y?a)??t) 1??????e?tdt?a?2????a?. 。。。。。。2分 ???1?a?2?a,}，则 ??max{?1,?2}????a。 ????a?2?a1而1和的分布函数均为：?(x)???2??的分布函数应为：?2(x)，于是 ?x??e?x22dx，又因为?1,?2相互独立，故 E???E??a???????2?xd?2(x)?a?2??x22??????x??e??2x?y22dy?e?x22dx?a ??? ?????e?y22????yx?edxdy?a???????e?ydy?a???。 ???a?a???二十四、若x,h都是只能取两个值的随机变量，证明如果它们不相关，则独立。 二十四、解：不妨设x,h的分布律及联合分布律分别为： P{x=a}=p1,P{x=b}=1-p1;P{h=c}=p2,P{h=d}=1-p2， P(x=a,h=c)=p3,P(x=a,h=d)=p1-p3； P(x=b,h=c)=p2-p3,P(x=b,h=d)=1-p1-p2+p3。 。。。。。。3分 那么 Ex=a1p+(1b-1p),hE=c+p2-(1d2； 。。。。。2分 p) 。 Exh=acp3+ad(p1-p3)+bc(p2-p3)+bd(1-p1-p2+p3). 。。。。。。2分 如果x,h不相关，则有Exh=Ex Eh，即 [ap1+b(1-p1)]?[cp2d(1-p2)] =acp3+ad(p1-p3)+bc(p2-p3)+bd(1-p1-p2+p3)。 。。。。。。2分 由上式可解得：p3=p1 p2,于是x与h相互独立。 。。。。。。1分 二十五、求参数为l的泊松分布的特征函数，并特征函数证明泊松分布关于参数的再生性。 二十五、解：根据特征函数的定义，参数为l的泊松分布的特征函数为： lk-litk。。。。。2分 f(t)=?e e 。 k!k=0+
