第8章 相量法
本章主要内容： 1.复数 2.正弦量 3.相量法的基础 4.电路定律的相量形式 本章学习要求：
本章是学习第9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
1.了解正弦量的三要素，深刻理解相量概念，熟练掌握正弦量的相量表示方法； 2.熟练掌握元件VAR与电路基本定律的相量形式并能灵活运用。 本章重点：
1. 正弦量和相量之间的关系； 2. 正弦量的相量差和有效值的概念；
3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式；
4. 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。 本章难点：
1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。 计划课时：
8.1-8.3 正弦量及其相量表示
一、正弦量及其三要素
正弦量：随时间按正弦规律变化的物理量统称正弦量。
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义：①正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。这是因为：正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。②正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量，即f(t)??nk?1Akcos(kωt?θk)。 下面以正弦电流来讨论正弦量的瞬时表达式、波形、三要素概念及其相位。 1.正弦量的瞬时表达式：
2.正弦量的波形： 3.正弦量的三要素：
①Im—振幅/幅值，是正弦量变化的最大值。
②?,T,f—分别为角频率(单位rad/s)，周期(单位s)和频率(单位Hz)。它们反映了正弦量的变化快慢。三者之间的关系为：??2?T?2?f，f?T其计时起点不同，其初始相位也就不同。
正弦量的三要素与其瞬时表达式之间具有对应关系：给定一个正弦量瞬时表达式，可得到其
?1i(t)?Imsin(?t??i)?Imsin(2?t??i)?Imsin(2?ft??i)T
③?i—正弦量的初始相位(单位：度或rad)，?i规定了正弦量的计时起点。对一个正弦量，
三个要素，反之给定一个正弦量的三要素，也就可以写出其瞬时表达式。另外，正弦量的三要素也是正弦量之间进行比较、区分的依据。 4.正弦量的相位及相位差：
正弦量的相位：(?t??i)为正弦量的相位，相位又称相位角，它确定了正弦量的瞬时状态。 不同正弦量之间的相位差：只有频率相同的两个正弦量之间才有相位差。 设两正弦量为：u1(t)?U1msin(?t??1)，u2(t)?U2msin(?t??2) 则u1(t)与u2(t)之间的相位差为：??(?t??1)?(?t??2)??1??2
可见，u1(t)与u2(t)之间的相位差?等于初相之差，它是一个常数，与时间无关。一般规定其主值范围为???。
若??0，则称u1(t)超前于u2(t)，即u1(t)比u2(t)先达到最大值；若??0，则称u1(t)滞后于u2(t)；若??0，则称u1(t)与u2(t)同相；若???2，则称u1(t)与u2(t)正交；若
???，则称u1(t)与u2(t)反相。
注意：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。5.正弦量的有效值/方均根值：
周期量的有效值根据热效应来定义，是一个在效应上与周期量在一个周期内的平均效应相等的直流量。其数学定义为：
直流I I?R def1T2?i(t)dtT0交流 i R TW?RI2T ? W??0Ri2(t)dt
对于正弦量，其有效值I与最大值Im之间有固定的2倍关系，即：
Im?2I或I?0.707Im
结论：
①正弦量的有效值可以代替其幅值，成为正弦的一个要素。
②工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 ③测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
④区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号：i,Im,I及u,Um,U。 二、正弦量的相量表示 1.复数背景知识： ①复数的表示方法：
代数形式表示： A?a1?ja2(其中j为虚单位,j??1)
三角形式表示： A?Acos??jAsin?(其中A为模,?为幅角) (上述两种形式间的转换关系：
2A?a12?a2,tg??a2a1或a1?Acos?,a2?Asin?)
j?j?指数形式表示： A?Ae(利用欧拉公式e?cos??jsin?即可)
极坐标形式表示： A?A??(是三角形式与指数形式的简写形式) 复平面内的向量表示： ②复数间的运算
1) 加减运算：一般采用代数式进行加减法运算。 若F1?a1?jb1，F2?a2?jb2，则F1?F2?(a1?a2)?j(b1?b2)
加减法运算亦可在复平面内采用图解法进行，如下图的平行四边形法则和三角形法则。
F1+F2 Im
F1+F2 F2 Im F2
F1
F1 o Re
-F2 Re o F-F 12
2) 乘除法运算：一般采用指数或极坐标形式相乘。
法运算：可采用代数/指数/极坐标形式相除，除法的几何意义 若F1?|F1|ejθ1?|F1|?θ1，F2?|F2|ejθ2?|F2|?θ2，则：
F1?F2?F1ejθ1?F2ejθ2?F1F2ej(θ1?θ2)?F1F2?θ1?θ2(模相乘角相加)
jθF1|F1| ?θ1|F1|e1|F1|j(θ1?θ2)|F1|???e??θ1?θ2(模相除角相减)。 F2|F2| ?θ2|F2|ejθ2|F2||F2|乘除法的几何意义： 例：220 ?35 ?(17?j9) (4?j6)?180.2?j126.2?19.24?27.9?7.211?56.3
20?j520.62?14.04?180.2?j126.2?6.728?70.16?180.2?j126.2?2.238?j6.329?182.5?j132.5?225.5?36
③旋转因子
复数ejθ?cosθ?jsinθ?1?θ称旋转因子。 几个特殊旋转因子：
2222Im F? ej? ? 0 F Re jπj?π1) θ?π, e2?cosπ?jsinπ??j；2) θ??π,e2?cos(?π)?jsin(?π)??j；
223) θ??π,ej?π?cos(?π)?jsin(?π)??1。 结论：+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 2.相量的概念：
可见，一个正弦量总有一个复数与之对应，并且这个复数的复常数部分Ie的有效值和初相，复数的另一部分ej?ti(t)?2Icos(?t??i)?Re?2Ie?j(?t??i)??Re?2Iej?iej?t? ???j?i表示了正弦量
表示了正弦量的角频率。
j?i相量概念：把与正弦量对应复数的复常数部分Ie称为该正弦量的相量，并将相量记为：
I?Iej?i?Iej?i?I??i
?jI注意：①相量与正弦量之间只是对应关系，而不是相等的关系； ②相量表示了正弦量的两个要素(有效值和初相)，对于角频率?，因在同一正弦交流电路中一般各电路变量具有相同的角频率，因此往往
?i相量图?1不予表示。
相量图：同复数一样，相量可以在复平面上用向量来表示，复平面上表示相量以及相量间关系的图称为相量图。
例：1) 已知i?141.4cos(314t?30o)A, u?311.1cos(314t?60o)V，试用相量表示i, u；
2) 已知I?50?15A, f?50Hz ，试写出电流的瞬时值表达式。 解：1) I?100?30oA, U?220??60oV
2) i?502cos(314t?15) A。
3.正弦量运算与相量运算之间的对应关系： 正弦量的运算可以转化为相应的相量运算来实现。
①同频率正弦量的代数和仍为同频率正弦量，并且和的相量等于各相量代数和。
? ? ?i??ik??2Ikcos(?t??ik)?I??Ik??Ikeik??Ik??ik
例：已知电流i1和i2分别为
i1?5cos(?t?36.90)，i2?10cos(?t?53.10)。试求i?i1?i2。
②正弦量的微分仍为同频正弦量，并且其相量等于原正弦量的相量乘以j?。
d?2Icos(?t??i)???Re(2Iej?t)??Re?2(j?I)ej?t?
?dt????dtdt?显然didt的相量为：j?I??I?(?i??2) ?③正弦量的积分仍为同频正弦量，并且其相量等于原正弦量的相量除以j?。即：?i(t)dt的
I相量为Ij????(?i??2)；
j?did④运用相量及相量的运算法则可以求取正弦电路微分方程的特解(稳态响应)。 如：图示电路的电路方程为
RiLRi?Ldidt?2Usin(?t??u)
该微分方程对应的相量形式为
us+-RI?j?LI?Us
Us?R?j?LUsR?(?L)22us?2Usin(?t??u)?(?u?arctg这一代数方程反映了正弦激励与其同频正弦响应之间的相量关系，并且容易求得
I??LR)
所以i?UsR?(?L)22sin(?t??u?arctg?LR)。
结论：正弦稳态电路常用相量法来分析，其主要的优点有：1) 把时域问题变为复数问题； 2) 把微积分方程的运算变为复数方程运算；3) 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。但要注意的是：相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
8.4 电路元件伏安特性及电路定律的相量形式
一、R,L,C元件伏安特性的相量形式
