（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分） （5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。 例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）
答：6点33分的时候分针与时针重合
例4 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时
是什么时刻？
分析 由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论： ①先设此时是4点多：
4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.时针和分针的路程和是30，除以速度和，可得时间。
②再设此时是5点多：
5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，时针和分针的路程和是25，除以速度和，可得时间。
第二章 分数问题
1 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式
例1 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，
余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时） 答：还需要5小时才能完成。
例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24
个，求这批零件共有多少个？
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解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个） （2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个） 答：这批零件共有168个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的＝1/7
所以，这批零件共有 24÷1/7＝168（个）
例3 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水
管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2， 所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2） ＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
2 百分数问题
【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1） 求一个数是另一个数的百分之几；
（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
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例1.红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？女职工比男职工
人数多百分之几？男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 例2 一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10千克的水，这是桶内的水正好是原来整桶水的一半，原
来一桶水有多少千克？ 例3.果品公司储存一批苹果，售出这批苹果的30％后，又运来160箱，这时比原来储存的苹果多1/10 ，
这时有苹果多少箱？
3 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］ 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。
解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元， 所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率， 所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月） 答：李大强的存款期是30月即两年半。
例 2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时
各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取
出，那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息
10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3 ＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元） 乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元） 4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
4 溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。 【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成
30%的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克） （2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。 例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
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解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克） 由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后
再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中
的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算： 原 有 甲容器 盐水500 盐500×12%＝60 盐60÷2＝30 盐30＋15＝45 盐水500 盐45－9＝36 乙容器 水500 盐水500＋250＝750 盐30 盐水750÷2＝375 盐30÷2＝15 盐水500 盐45－36＋15＝24 第一次把甲中一半盐水500÷2＝250 倒入乙中后 倒入甲中后 第三次使甲乙中 盐水同样多 第而次把乙中一半盐水250＋375＝625 由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8% 答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
5 商品利润问题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率） 亏损＝进货价－售价 亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利
30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4% 答：该店是盈利的，盈利率是4%。
例2 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作
业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
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