整数的有关问题与不定方程
一、关于整数的有关问题
a,b为整数，a?b与a?b有相同的奇偶性；两个连续的整数中必有一奇数一偶数；偶
数的平方能被4整除奇数的平方被8除余1；质数中最小的也是唯一的一个偶数是2，任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。
例1、已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数，若b是x的方程(x?a1)(x?a2)(x?a3)(x?a4)(x?a5)?2009的整数根，求b的值。
例2、设N?99999，则N3?__________ 例3、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数，满足
(2005?x1)(2005?x2)(2005?x3)(2005?x4)(2005?x5)?242，则
22222x1?x2?x3?x4?x5的末位数字是_____________
例4、已知四位数(a?1)(a?2)(a?3)恰好是某整数的平方，求这个四位数。 例5、试求四位数xxyy使得它是一个完全平方数。
例6、若100a?64和201a?64均为四位完全平方数，则整数a的值为___________
2例7、已知p,q均为质数，且满足5p?3q?59，则以p?3,1?p?q,2p?q?4为
边长的三角形是___________
例8、设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m?_________
例9、为a,b,c正整数，且a?b?c，求c的最小值。
例10、将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数由小到大排成一列数，20，40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数是___________。
二、不定方程
二次不定方程没有固定的解法， 应根据它的结构的特殊性寻找解法，常用的方法有因式分解、降次法、奇偶分析法、整数离析法、配方估值法等。
例11、求方程2x?5xy?2y?2006的所有正整数解。 例12、求方程x?2x?y?2y?12的正整数解。
2222234
例13、求方程x2?y2?2010的整数解。 例14、求x2?y2?208(x?y)的所有正整数解。 例15、求方程2x2?6xy?7y2?35的正整数解。
例16、关于x,y的方程x2?xy?2y2?29的整数解(x,y)的组数为___________。 例17、当x?y?z时，求方程
1117???的正整数解。 xyz8例18、设四位数abcd是一个完全平方数，且ab?2cd?1，求这个四位数。 例19、对于自然数n，将其各位数字和记为an，则
a1?a2?a3???a2009?a2010?___________
例20、当n是自然数时，规定n!?n?(n?1)?(n?2)???3?2?1，则在2010!中末尾共含有零的个数有____________。
