∴△ECF是等腰直角三角形. ……………………………………4分 ⑵ ∵ 在等腰Rt△ECF中，∠ECF=90°， ∴ ∠CEF=45°，CE= 又∵∠BEC=135°，
2EF. ………………………………………5分 2BE=0.5 ， CE ∴ ∠BEF=90°，
BE2=. ………………………………………6分 EF4 不妨设BE=2，EF= 4，则BF=18. ∴sin∠BFE=
21BE==. ………………………………………7分 BF1837.解：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，
∵OP平分∠MON， M∴∠MOP=∠NOP． 又∵OA=OD，OP=OP，
∴△AOP≌△DOP． ……………1分 ∴PA=PD，∠1=∠2． P∵∠APB+∠MON=180°， A1∴∠1+∠3=180°． 234O∵∠2+∠4=180°， DB∴∠3=∠4． ∴PD=PB．
∴PA=PB． …………… 2分
M（2）∵PA=PB，
∴∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4．
PA3∴∠2=∠4． 5∵∠5=∠5， C12∴△PBC∽△POB．
O∴
TNT4BNPCS?PBC3． …………… 5分 ??PBS?POB3（3）作BE⊥OP交OP于E，
0
∵∠AOB=60，且OP平分∠MON， ∴∠1=∠2=30°．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴∠APB=120°．∵PA=PB，
∴∠5=∠6=30°． ∵∠3+∠4=∠7，
∴∠3+∠4=∠7=(180°?30°)÷2=75°．
0
∵在Rt△OBE中，∠3=60，OB=2
MA6TCPE2O14573BN∴∠4=15，OE=3，BE=1 ∴∠4+∠5=45，
∴在Rt△BPE中，EP=BE=1
∴OP=3?1 …………… 8分
8．（1）猜想：AE?2MD ------------------------------------------1分
证明：∵ △ABC是等边三角形，点D为BC边的中点， ∴ AB?BC?2BD
∵ ∠BAE＝∠BDF , ∠ABE＝∠DBM
∴ ?ABE∽?DBM ----------------------2分
∴
0
0
AEAB??2 即 AE?2MD -------------3分 DMDB
（2）解：如图， 连接EP 由（1）?ABE∽?DBM
BEAB??2 BMDB∴BE?2BM ∵MP?BM ∴ BP?2BM
∴ BE?BP
∵ ?EBP??ABE??ABP??PBC??ABP??ABC?60? ∴?EBP为等边三角形 ----------------------4分 ∴ EM?BP
∴ ?BMD?90?
∴?AEB?90? -----------------------5分
∴
在Rt△AEB中，AB＝7，AE＝27 ∴ BE=AB2-AE2 ∴ tan?BAE??21
3 -------------------6分 2 ∵ AB?CB ，BE?BP ，∠ABE＝∠DBM ∴ ?ABE??CBP ∴ ?BCP??BAE
3∴ tan?BCP=tan?BAE? ---------7分
29．解：（1）正确画出图形………………………………………….…………..1分
EF?EB． ……………………………………………2分 证明：如图（1），在直线m上截取AM?AB，连结ME．
FBC?kAB，k?1，?BC?AB．
?ABC?90，??CAB??ACB?45.
m∥n，??MAE??ACB??CAB?45，?FAB?90． AE?AE，?△MAE≌△BAE． ········· 3分
?EM?EB，?AME??ABE．……………………………4分
MCEAmBn?BEF??ABC?90，??FAB??BEF?180．
图（1） ??ABE??EFA?180．又?AME??EMF?180，
??EMF??EFA． ?EM?EF.
?EF?EB．…………………….………………………………..5分
1（2）EF?EB．
kM 说明：如图(2)，过点E作EM?m，EN?AB，垂足为M，N．
．
C
E m∥n，?ABC?90，
A B
N F n m 图(2)
??MAB?90．
?四边形MENA为矩形．
?ME?NA，?MEN?90．
?BEF??ABC?90,
??MEF??NEB．
?△MEF∽△NEB． ··························· 6分 MEEFANEF???．?． ENEBENEBENBC??k， 在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan?BAC?ANAB1?EF?EB． ………………………………………………………………………………7分
kA10．猜想：AP=BP+PC ------------------------------1分
（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE ∵∠BPC=120°
B ∴∠CPE=60°，又PE=PC ∴△CPE为等边三角形 ∴CP=PE=CE，∠PCE=60°
C ∵△ABC为等边三角形 P ∴AC=BC，∠BCA=60° ∴∠ACB=∠PCE，
E ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
即：∠ACP=∠BCE
∴△ACP≌△BCE
∴AP=BE --------------------------------- -------2分 ∵BE=BP+PE
AP=BP+PC----------------------------------------------3分
（2）方法一：
在AD外侧作等边△AB′D ----------------------------------------------------------
4分
则点P在三角形ADB′外
∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD B’ 在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，
∴PA+PD+PC＞CB′ A------------------------------------ 5分 ∵△AB′D、△ABC是等边三角形
P ∴AC=AB，AB′=AD，
B∠BAC=∠DA B′=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD DC 即：∠BAD=∠CAB′ ∴△AB′C≌△ADB
∴C B′=BD ---------------------------------------------------------------- 6分
∴PA+PD+PC＞BD ------------------------------------------------------------------------- 7分
方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM A ∵∠APD=120°，
M∴△APM是等边三角形，
-----------------------------4分 P∴AM=AP，∠PAM=60°
D ∴DM=PD+PA BC------------------------------5分 ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60° ∴△AMB≌△APC ∴BM=PC ---------------------------------------------------------------------------------6分 在△BDM中，有DM + BM＞BD， ∴PA+PD+PC＞BD --------------------------------------------------------------------------7分 11. ①证明：在Rt△ABC中，∵?BAC?90，AB?AC?2
∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45° ∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°
………………1分 ∴∠ADB=∠DEC
………………2分 ∴ △ABD∽△DCE
② 当△ADE是等腰三角形时,分以下三种情况讨论 第一种情况：DE=AE
∵DE=AE
∴∠ADE=∠DAE=45°
∴ ∠AED=90°, 此时，E为AC的中点，
1………………3分 ∴AE=AC=1.
2
第二种情况：AD=AE（D与B重合） AE=2
