1.(2018·宿迁中考)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝60°,AB＝10,求线段CF的长. (1)证明：连接OC. ∵OD⊥AC,OD经过圆心O, ∴AD＝CD,∴PA＝PC. 在△OAP和△OCP中, OA＝OC，??
?PA＝PC， ??OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°,即OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是直径,∴∠ACB＝90°.
∵∠ABC＝60°,∴∠CAB＝30°,∴∠COF＝60°.
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∵PC是⊙O的切线,AB＝10, 1
∴OC⊥PF,OC＝OB＝AB＝5,
2∴CF＝OC·tan ∠COF＝53.
2.(2018·白银中考)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°.
(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O；(要求：不写作法,保留作图痕迹) (2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果. 解：(1)如图；
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(2)相切.过点O作OD⊥AC于点D. ∵CO平分∠ACB,
∴OB＝OD,即圆心O到直线AC的距离d＝r,
∴⊙O与直线AC相切.3.(2018·玉林中考)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC＝∠B.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)点E是AB上一点,若∠BCE＝∠B,tan ∠B＝1
2,⊙O的半径是4,求EC的长.
(1)证明：∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＋∠BAD＝90°, ∴∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.又∵AB是直径, ∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠BCE＝∠B,∴EC＝EB. 设EC＝EB＝x.
在Rt△ABC中,tan ∠B＝AC1
AB＝2,AB＝8,
∴AC＝4.
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在Rt△AEC中,EC＝AE＋AC, ∴x＝(8－x)＋4,解得x＝5, ∴EC＝5.
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2
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直角三角形模型
例3 (2018·聊城中考)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5,BE＝4,求BC,AD的长.
【解析】(1)连接OE,由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB,又由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE,据此得∠OEB＝∠CBE,从而得出OE∥BC,进一步即可得证；
BDBEAOOE
(2)证△BDE∽△BEC得＝,据此可求得BC的长度,再证△AOE∽△ABC得＝,据此可得AD的长.
BEBCABBC【答案】(1)证明：连接OE.
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