每日一题 规范练(第四周)
星期一 2020年4月13日
π
[题目1] (2019·合肥质检)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到6函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间； (2)若g???α＋π6???＝13，求h(α)的值． 解：(1)依题意，g(x)＝sin??π?2x＋3???，
则h(x)＝sin 2x－sin??π?2x＋3???＝sin??π?2x－3???. 令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π
2＋2kπ，k∈Z，
得－π5π
12＋kπ≤x≤12
＋kπ，k∈Z.
所以函数h(x)的单调递增区间为??5π?－π12＋kπ，12＋kπ???
，
k∈Z.
(2)由g??π?
α＋6??1?＝3，
得sin???2???
α＋π6??π?＋??2π?13??＝sin??2α＋3??＝3， 所以h(α)＝sin??π?2α－3???＝sin?????2π?2α＋3??2π1?－π???
＝－sin(2α＋3)＝－3. 星期二 2020年4月14日
[题目2] 若数列{a2
*
n}的前n项和为Sn，首项a1＞0且2Sn＝an＋an(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a*
1
n＞0(n∈N)，令bn＝
a，求数列{bn}的前n项和Tn.
n（an＋2）
解：(1)当n＝1时，2S2
1＝a1＋a1，则a1＝1. 2当n≥2时，a＋an－a2nn－1＋an－1
n＝Sn－Sn－1＝
a22
，
则(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0?an＝－an－1或an＝an－1＋1， 所以a－1
n＝(－1)
n或an＝n.
- 1 -
(2)由an＞0(n∈N)，知an＝n. 则bn＝
1?111?1
＝＝?－?.
an（an＋2）n（n＋2）2?nn＋2?
1?11?1?1?1?13?11??11＋－－[?1－?＋?－?＋…＋?－]＝＝－???2?3?2?2n＋1n＋2?4?24??nn＋2?
*
所以Tn＝
2n＋3
.
2（n＋1）（n＋2）
星期三 2020年4月15日
[题目3] 艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份 年份代码x 感染者人数2011 1 34.3 2012 2 38.3 2013 3 43.3 2014 4 53.8 2015 5 57.7 2016 6 65.4 2017 7 71.8 2018 8 85 y/万人 (1)请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； (2)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；
(3)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国艾滋病病毒感染人数． 参考数据：42≈6.48；
yi＝449.6， 8
x iyi＝2319.5,
－
? （yi－y）2＝46.2，
i＝1
参考公式：相关系数r＝.
^^^^
回归方程y＝bx＋a中，b＝解：画出的折线图如图所示.
^－^－，a＝y－bx
- 2 -
－－
(2)由统计表，x＝4.5, y＝56.2
所以≈296.3，
42×46.2≈299.376,
所以r＝≈0.99.
说明y与x的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系．
^
(3)因为b＝^
296.3＝≈7.05，
42
－^－
a＝y－bx＝56.2－7.05×4.5≈24.48， ^
所以y＝7.05x＋24.48.
^
当x＝10时，y＝7.05×10＋24.48＝94.98.
所以预测2020年我国艾滋病感染累积人数为94.98万人．
星期四 2020年4月16日
[题目4] 如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，
AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.
- 3 -
(1)求证：平面PAB⊥平面QBC； (2)求该组合体QPABCD的体积． (1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD， 所以PA⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.
因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB. 又BC?平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.
(2)解：连接BD，平面QDB将几何体分成四棱锥B-PADQ和三棱锥QBDC两部分，过B作
BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，
所以PA⊥BO.
又AD⊥OB，PA∩AD＝A，
所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥BAPQD的高， 因为BO＝ABsin 60°＝3，
S四边形PADQ＝(1＋2)×2＝3，
1
所以VB-PADQ＝·BO·S四边形PADQ＝3.
3因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，
又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝123
所以V三棱锥Q-BDC＝·S△BDC·QD＝.
39
23113
所以组合体QPABCD的体积为3＋＝.
99
星期五 2020年4月17日
- 4 -
1
2
3. 3
