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py2→
△OFP′都是直角三角形．显然∠POF不可能为直角．若∠OPF＝90°，易知F(，0)，设P(，y)，可得OP
22py2y2py43y2y43y2→→→y2y2p→→2
＝(，y)，FP＝(－，y)，∴OP·FP＝(－)＋y＝＋.∵>0，>0，∴OP·FP>0，∴cos2p2p22p2p24p244p24∠OPF>0，∴∠OPF为锐角，不可能为直角．综上，使得△POF是直角三角形的点P有且有2个．
x2y2
2．(2018·江苏盐城中学摸底)命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆
a2b2上的一个动点，过F2作∠F1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲x2y2
线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动
a2b2点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________． 答案 内角平分线 a
解析 ∵F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，∴点F2关于∠F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上，|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a(椭圆长轴长)，又OM是△F2F1Q的中位线，故|OM|＝a.不妨设点P在双曲线右支上，当过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M时，点F2关于∠F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF1上，|F1Q|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OM是△F2F1Q的中位线，故|OM|＝a.
x22
3．(2018·海南海口三模)已知椭圆C：＋y＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为
a2→→
椭圆C上任意一点，且PF1·PF2的最小值为0. (1)求椭圆C的方程；
(2 )若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． x22
答案 (1)＋y＝1 (2)略
2
→→
解析 (1)设P(x，y)，则有F1P＝(x＋c，y)，F2P＝(x－c，y)， （a2－1）x2→→2222
PF1·PF2＝x＋y－c＝＋1－c，x∈[－a，a]，
a2→→22
由PF1·PF2的最小值为0，得1－c＝0，∴c＝1，a＝2， x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程分别为y＝kx＋m，y＝kx＋n，
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把l1的方程代入椭圆方程得(1＋2k)x＋4mkx＋2m－2＝0. ∵直线l1与椭圆C相切，Δ＝16km－4(1＋2k)(2m－2)＝0， 化简得m＝1＋2k，同理，n＝1＋2k，
∴m＝n.若m＝n，则l1，l2重合，不合题意，∴m＝－n. 设在x轴上存在点B(t，0)，点B到直线l1，l2的距离之积为1， 则
|kt＋m||kt－m|2222
·＝1，即|kt－m|＝k＋1， k2＋1k2＋1
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
222
2
2
222
把1＋2k＝m代入并去绝对值，整理得k(t－3)＝2或k(t－1)＝0，前式显然不恒成立； 而要使得后式对任意的k∈R恒成立，则t－1＝0，解得t＝±1.
②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为x＝2和x＝－2，定点(－1，0)或(1，0)到直线l1，l2的距离之积为(2＋1)·(2－1)＝1，
综上所述，满足题意的定点B为(－1，0)和(1，0)．
4．(2018·吉林一中二模)已知抛物线C：y＝2px(p>0)与直线x－2y＋4＝0相切． (1)求该抛物线的方程；
1(2)在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得
|AM|2＋
1
为定值？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． |BM|2
2
22
答案 (1)y＝8x (2)略
?x－2y＋4＝0，2
解析 (1)联立方程，有?消去x，得y－22py＋8p＝0，由直线与抛物线相切，得Δ＝
?y2＝2px，
8p－32p＝0，解得p＝4. 所以抛物线的方程为y＝8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m，0)(m>0)．
??x＝ty＋m，2
直线l：x＝ty＋m，由?得y－8ty－8m＝0，
?y2＝8x，?
2
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1＋y2＝8t，y1y2＝－8m. |AM|＝(x1－m)＋y1＝(t＋1)y1， |BM|＝(x2－m)＋y2＝(t＋1)y2.
11111y12＋y2214t2＋m
＋＝＋＝·＝·， |AM|2|BM|2（t2＋1）y12（t2＋1）y22t2＋1y12y22t2＋14m211当m＝4时，＋为定值，所以M(4，0)．
|AM|2|BM|2
5．(2018·浙江温州第一次考试)如图，动圆C过点F(1，0)，且与直线x＝－1相切于点P.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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(1)求圆C的轨迹Γ的方程；
k1＋k3
(2)过点F任作一直线交轨迹Γ于A，B两点，设PA，PF，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否
k2为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 答案 (1)y＝4x (2)定值为2
解析 (1)由题意，圆心C到点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等．
p
由抛物线的定义，可知圆心C的轨迹是以F(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，其中＝1，所
2以p＝2.
故圆心C的轨迹Γ的方程是y＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??x＝my＋1，2
联立方程，得?整理得y－4my－4＝0，
?y2＝4x，?
2
2
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
y1－ty1－ty2－ttt
设P(－1，t)，则k1＝＝，k3＝，k2＝＝－.
x1－（－1）my1＋2my2＋2－1－12k1＋k3＝
（y1－t）（my2＋2）＋（y2－t）（my1＋2）2my1y2＋（2－tm）（y1＋y2）－4t
＝＝
（my1＋2）（my2＋2）m2y1y2＋2m（y1＋y2）＋4
2m（－4）＋（2－tm）·4m－4t－4t（m2＋1）k1＋k3－tk1＋k3
＝＝－t，则＝＝2，故为定值，定值为2.
m2（－4）＋2m·4m＋44（m2＋1）k2－tk2
2x2y2
6．(2018·吉林普通中学第一次调研)如图，已知椭圆E：＋＝1(0 4b2→→ 且PC·PD＝－2. (1)求椭圆E的方程及离心率； →→→→ (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． x2y21 答案 (1)＋＝1 e＝ 422 最新精选中小学试题、试卷、教案、教育资料 (2)λ＝1时，定值为－3 解析 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． →→ 又点P的坐标为(0，1)，且PC·PD＝－2， ??1－b2＝－2，于是?解得c＝1，b＝3. ??a2－b2＝c2， x2y2 所以椭圆E的方程为＋＝1. 431 因为c＝1，a＝2，所以离心率e＝. 2 (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． x2y2??＋＝1，22 联立?43得(4k＋3)x＋8kx－8＝0. ??y＝kx＋1，－8k－8其判别式Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝. 4k2＋34k2＋3→→→→ 从而OA·OB＋λPA·PB ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＝ －8（1＋λ）（1＋k2）－4k2＋3 4k2＋34－2λ －2λ－3. 4k2＋3 2 4－2λ 所以当λ＝2时，－2λ－3＝－7， 4k2＋3→→→→ 即OA·OB＋λPA·PB＝－7为定值． 当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD. →→→→→→→→ 此时OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋2PC·PD＝－3－4＝－7. →→→→ 故存在常数λ＝2，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－7.
