②当0.5＜x≤1时，依题意，30x?(60x?30)≤10． 解得，x≥
23．所以
23≤x≤1．……8分
③当x＞1时，依题意，(60x?30)?30x≤10． 解得，x≤
43．所以1＜x≤
2343．……9分
综上所述，当≤x≤
43时，甲、乙两船可以相互望见．……10分
78、（2010年湖北省咸宁市）24．（本题满分12分）
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，?DAB?90?，AD?2DC?4，AB?6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t?0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； （3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究请说明理由．
Q
A l M B
（第24题）
A （备用图1）
B
A （备用图2）
B
D
E P C
D C
D C
CQRQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，
【解答】
24．解：（1）过点C作CF?AB于F，则四边形AFCD为矩形．
∴CF?4，AF?2．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分 ∴即
QMAMQM0.5??CFAF42E
P C
D ．
Q
，∴QM?1．……3分
A
F
l M
（第24题）
B
（2）∵?DCA为锐角，故有两种情况：
①当?CPQ?90?时，点P与点E重合．
此时DE?CP?CD，即t?t?2，∴t?1．……5分 ②当?PQC?90?时，如备用图1， 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴EQPE?MAQMl
D P E C
Q
．
由（1）知，EQ?EM?QM?4?2t，
而PE?PC?CE?PC?(DC?DE)?t?(2?t)?2t?2， ∴
4?2t2t?2?12． ∴t?5353．
A M B （备用图1）
综上所述，t?1或．……8分（说明：未综述，不扣分）
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（3）
CQRQ为定值．……9分
当t＞2时，如备用图2，
PA?DA?DP?4?(t?2)?6?t．
由（1）得，BF?AB?AF?4． ∴CF?BF． ∴?CBF?45?． ∴QM?MB?6?t． ∴QM?PA． ∴四边形AMQP为矩形． ∴PQ∥AB．……11分 ∴△CRQ∽△CAB． ∴
CQRQ?BCAB?CF?BFAB22D P R C
Q
A
M F B
（备用图2）
?426?223．……12分
79、（2010年湖北省宜昌市）23．如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程mx2?nx?k?0的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为S?O,矩形PDEF的面积为
S矩形PDEF。
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4； （2）求
S?OS矩形PDEFS?OS矩形PDEF的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取
值是否有关？请说明理由。（11分）
BFPAA
E图①DCB
（供画图参考） 图②(第23题)
C
【解答】
23．解：解法一：
（1）据题意，∵a+h=?nm,a?h?km.
∴所求正方形与矩形的面积之比：
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(a?h)a?h2(??nmkm)2?n2 ················ 1分
kmmk22?n?4mk?0,?n?4mk,由ah?知m,k同号,
?mk?0 ······················ 2分
（说明:此处未得出mk?0只扣1分, 不再影响下面评分）
?n2mk?4mkmk······················· 3分 ?4,
即正方形与矩形的面积之比不小于4. （2）∵∠FED=90o,∴DF为⊙O的直径.
∴⊙O的面积为：S?O⊙
??(DF2)??2DF42??4(EF?DE)22． ····· 4分
矩形PDEF的面积：S矩形PDEF?EF?DE． ∴面积之比：S?O⊙ S?OS矩形PDEF⊙ ??4DE(EF?DEEF), 设
EFDE?f,
S矩形PDEF=?4???4(f?1f)
=?(4??(f)?(1f21f)?2)?22f?1f?2f1??f?? 分 ?f??2???????????????????????6........5分?(f?1f1f)2?0, ??4(f?1f)?2?2??2,
?f?，即f?1时（EF=DE）, S?OS矩形PDEF⊙ 的最小值为? ····· 7分
2（3）当S?OS矩形PDEF⊙ 的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．
过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e， ∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e. 由BC∥MQ,得：BM =AG =h. ∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,
∴△FBP∽△ABQ. ······················ 8分 （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评∴∴
FPAQ?BNBMM AFPQ分）
,??9分
N
eAQ?eh.∴AQ?h??10分
O?AQ??n?n?4mk2m2??11分
BEGDC∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.
（解题过程叙述基本清楚即可）
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（第23题） 解法二：
（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，
∴ah＞０????1分（说明:此处未得出ah?0只扣1分,再不影响下面评分） ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.
故，（a-h）＝（a＋h）－４a h≥０．··········· 2分 ∴（a＋h）２≥４a h， ∴
(a?h)ah2２２
≥４．（﹡） ···················· 3分
2 这就证得(a?h)≥４．（叙述基本明晰即可）
a?h（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为x2?y2 . S⊙O=?(S⊙
? OS矩形PDEFx?y2222)2????4分, S矩形PDEF=xy
2= ?(x?y)
4xy22??(x?2xy?y)?2xy?2??(x?y)=
?4?xy2????4?xy??2? ····· 6分 ?(x?y)由（1）（*）， . ?4xy
2??(x?y)??4?xy????2??(4?2)?.
42?2AQ∴（3）当S?O⊙ 的最小值是? ··················· 7分 的值最小时，
FPS矩形PDEFS?O⊙ S矩形PDEF这时矩形PDEF的四边相等为正方形.
∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足. ∵△AGB∽△FEB，∴∵△AQB∽△FPB, ∴
ABBF?AGEFABBFABBF??AGEFOB.??8分
EGDCAQPF，??9分
（第23题） =AQ．
PF而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ?????10分 ∴AG=h＝?n?n?4mk2m2, ················· 11分
或者AG=h＝?n?n?4mk2m2∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可）
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