一元二次方程知识点
一、一元二次方程
1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：ax?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解
形如(x?a)?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?a是b的平方根，当b?0时，
222x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式a?2ab?b?(a?b)，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x?2bx?b?(x?b)。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式：
2222222?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0)
2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c 4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和x1?x2??利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 三、一元二次方程根的判别式
根的判别式
2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中，b?4ac叫做一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根
22bc，二根之积x1x2?。aa的判别式，通常用“?”来表示，即??b?4ac
I. 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II. 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III.当△<0时，一元二次方程没有实数根 四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??22bc，x1x2?。也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反
数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 五、一元二次方程的应用
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；
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⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。 ⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
一元二次方程练习
一、选择题
22
1、若关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（ ） A．1 B. 2 C. 1或2 D. 0
2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．45?2x?50 B．45(1?x)?50 C．50(1?x)?45
222D．45(1?2x)?50
3、已知a，b是关于x的一元二次方程x?nx?1?0的两实数根，则
A．n?2
2ba
?的值是（ ） ab
B．?n?2
2C．n?2
2
2D．?n?2
24、已知a、b、c分别是三角形的三边，则(a + b)x+ 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
25、已知m,n是方程x?2x?1?0的两根，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)?8，则a的值等于
22（ ）
A．－5 B.5 C.-9 D.9
6、已知方程x?bx?a?0有一个根是?a(a?0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B．
22a C．a?b D．a?b b7、x?2x?2?0的一较小根为x1,下面对x1的估计正确的是 （ ）
A．?2?x1??1 B．?1?x1?0
2C．0?x1?1
D．1?x1?2
228、关于x的一元二次方程x?mx?2m?1?0的两个实数根分别是x1、x2，且x1?x2?7，则(x1?x2)2的值是（ ）
A．1 B．12
C．13 D．25
9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450
张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A. x(x?1)?2450 B. x(x?1)?2450 C. 2x(x?1)?2450 D.
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x(x?1)?2450 210、设a，b是方程x2?x?2009?0的两个实数根，则a2?2a?b的值为（ ）
A．2006
B．2007
2
C．2008 D．2009
11、对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax+bx+c=0必有实数根； ②若b+4ac<0，则方程ax+bx+c=0一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax+bx+c=0一定有两个不等实数根；
④若方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 二、填空题
1、若一元二次方程x－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ． 3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．
2ab4、关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a?0)有两个相等实根，求 的值为____ ___． 22(a-2)?b-42222
2
22
5、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．
6、已知关于x的一元二次方程x-6x-k=0（k为常数）．设x1，x2为方程的两个实数根，且x1 +2x2=14，
22则k的值为__________．
7、已知m、n是方程x-2003x+2004=0的两根，则(n-2004n+2005)与(m-2004m+2005)的积是 . 三、解方程
22① 2x-9x+5=x-3 ② 2（x－1）+5（x－l）+2=0
222③ x －2x－2=0 ④ x +5x+3=0 四、计算题
1、关于x的方程kx?(k?2)x?222k?0有两个不相等的实数根. 4(1)求k的取值范围。
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 2．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存。今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5760元.求这种储蓄的年利率.
3．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。
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（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△ABQ的面积等于8cm2?
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2。
4、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度。
5、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
6、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用
10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请甲、乙两队合作完成此项工程；C．请甲先做10天，余下甲乙合做完成此项工程。以上三种方案哪一种花钱最少？
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