101 10 相关与回归分析
Estimation（曲线估计）命令，可以自动完成11种曲线的拟合。
这11种模型是：Linear（线性模型，y=b0+b1x）、Quadratic（二次模型，y= b0+b1x+b2x2）、Compound（复合模型，y=b0(b1)x）、Growth（生长模型，y=eb0+b1x）、Logarithmic（对数模型，y=b0+b1lnx）、Cubic（三次模型，y= b0+b1x+b2x2+b3x3）、S（S型模型，y= eb0+b1/x）、Exponential（指数模型，y=b0eb1x）、Inverse（逆模型，y= b0+b1/x）、Power（幂模型，y=b0xb1）、Logistic（Logistic模型，y=1/(1/u+b0(b1)x）。这些曲线拟合其本质都是先进行曲线直线化，然后进行线性模型拟合，最后将模型表达式转换回原始变量的表达方式。
进行曲线估计时，可以选择多种拟合模式，进行比较后选择较好者。
例10-7 某单位钩虫病病人重复治疗次数与阳性率的资料见表10-4。试作曲线拟合。
表10-4 钩虫病病人数据
次数x
1
2 36
3
4
5 7.3
6 4.5
7 2.8
8 1.7
阳性率y 63.9 17.1 10.5
解：以x、y为变量名，将表10-4中数据建立成8行2列的数据文件。作散点图，显示x、y近似呈指数关系。
选择菜单Analyze→Regression→Curve Estimation（曲线估计），弹出如图10-19所示Curve Estimation对话框，将因变量y送入Dependent（因变量）框中，自变量x送入Independent（自变量）框中的Variable（变量）框中；去掉Linear（线性）选项，选中Exponential（指数）；选中下面的Display ANOVA table；单击OK。
曲线估计 因变量： y 自变量 ⊙变量 x ○时间 观测标签 确定 粘贴 重置 取消 帮助 ?方程中含常数 ?显示模型曲线图 模型 □线性 □二次 □复合 □生长 □对数 □三次 □S型 ?指数 □逆型 □幂型 □Logistic ?显示方差分析表 保存 图10-19 Curve Estimation对话框
单击图10-19对话框中Save按钮，可以选择保存预测值、残差、预测区间等。
输出结果的格式和线性回归相仿。决定系数R2=0.993，方差分析，F=807.151，P=0.000，回归方程有统计学意义。由图10-20，按指数模型的函数格式 y=b0eb1x 可以得回归方程
??92.393e?0.506x。用鼠标右键单击图10-19对话框中Models下的模型名称，在弹出的快捷y帮助框中就显示有该模型的函数格式。
本例还输出了按指数模型拟合的曲线图（略），从曲线图中可以看出拟合效果很好。
SPSS统计软件 102
CoefficientsUnstandardizedCoefficientsBStd. Errorx-.506.018(Constant)92.3938.314The dependent variable is ln(y).StandardizedCoefficientsBeta-.996t-28.41011.113Sig..000.000 图10-19 例10-7回归方程的参数估计 10.7 非线性回归
上一节介绍的曲线拟合处理的是比较简单的曲线关系，先进行变量变换，将曲线关系转换为直线关系，从而利用线性过程进行分析拟合，最后再将模型表达式转换回原始变量的表达方式，这样保证了变换后变量的残差平方和最小，可是变换回原始变量时，不一定是最优方程。况且有的曲线关系很复杂，不可能通过变量变换转换为直线方程，此时不能使用线性回归。非线性回归就是为解决以上问题提出的一个通用模型框架，它采用迭代方法对用户设置的复杂曲线模型进行拟合。
在SPSS中，选择Analyze→Regression→Nonlinear（非线性回归）命令，可以完成非线性回归分析。常用非线性模型见表10-5，在模型的选择上一定要根据数据的性质而定，而且确定模型中参数的初始值非常重要，有时准确地选择了模型，但设置的初始值却不好，就有可能得不到一个较好的方程。
表10-5 常用非线性模型
名称
Asymptotic Regression Asymptotic Regression Density Gauss Gompertz
Johnson-Schumacher Log-Modified Log-Logistic
模型表达式
b1 + b2 * exp(b3 * x) b1 – (b2 * (b3 ** x)) (b1 + b2 * x) ** (–1 / b3) b1 * (1 – b3 * exp(–b2 * x ** 2)) b1 * exp(–b2 * exp(–b3 * x)) b1 * exp(–b2 / (x + b3)) (b1 + b3 * x) ** b2
b1 – ln(1 + b2 * exp(–b3 * x))
Metcherlich Law of Diminishing Returns b1 + b2 * exp(–b3 * x) Michaelis Menten Morgan-Mercer-Florin Peal-Reed Ratio of Cubics Ratio of Quadratics Richards Verhulst
b1 * x / (x + b2)
(b1 * b2 + b3 * x ** b4) / (b2 + x ** b4)
b1 / (1+ b2 * exp(–(b3 * x + b4 * x **2 + b5 * x ** 3))) (b1 + b2 * x + b3 * x ** 2 + b4 * x ** 3) / (b5 * x ** 3) (b1 + b2 * x + b3 * x ** 2) / (b4 * x ** 2) b1 / ((1 + b3 * exp(–b2 * x)) ** (1 / b4)) b1 / (1 + b3 * exp(–b2 * x))
Von Bertalanffy Weibull Yield Density
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(b1 ** (1 – b4) – b2 * exp(–b3 * x)) ** (1 / (1 – b4)) b1 – b2 * exp(–b3 * x ** b4) (b1 + b2 * x + b3 * x ** 2) ** (–1)
例10-8 对例10-7中数据进行非线性回归分析。
解：数据文件同例10-7。首先确定初始值，本例是指数模型y=aebx，由原始数据中任选两个点，如（3，17.1）和（6，4.5），代入y=aebx，得到关于a、b的方程组17.1=ae3b，4.5=ae6b，解得a=64.98、b=－0.45。
选择菜单Analyze→Regression→Nonlinear（非线性回归），弹出如图10-20所示Nonlinear Regression主对话框，将因变量y送入Dependent（因变量）框中，在Ｍodel Expression（模型表达式）框中键入所选模型相应的函数表达式，本例键入a*EXP(b*x)；
单击Parameters（参数）按钮，弹出Parameters对话框（见图10-21），设置a的初始值为64.98，b的初始值为－0.45，单击Continue，返回主对话框；单击OK。
用鼠标单击图10-20对话框中Save按钮，可以选择保存预测值、残差、预测区间等。
图10-20 Nonlinear Regression主对话框
ANOVAaSourceRegressionResidualUncorrected TotalCorrected TotalSum ofSquares5855.09711.0435866.1403281.335df2687Mean Squares2927.5481.841Dependent variable: ya. R squared = 1 - (Residual Sum of Squares)/ (Corrected Sum of Squares) = .997. 图10-21 Parameters对话框 图10-22 例10-8回归方程的方差分析
主要输出结果见图10-22、23，图10-22为非线性回归的方差分析，残差均方不是误差的无偏估计，所以通常的方差分析不能用于非线性回归的检验。可以根据决定系数R2的大小
SPSS统计软件 104
判断模型拟合的好坏。本例决定系数R2=0.997，拟合效果较好。
??115.722e图10-23给出参数估计，非线性回归方程为y??92.393e到的回归方程为y?0.506x?0.595x。上一节用曲线拟合得
，a、b两系数相差很大。在这两个题目的操作时，用鼠
标单击主对话框的Save按钮，可以选择保存预测值、残差，结果见图10-24，FIT_1和ERR_1
分别是曲线拟合模型的预测值和残差，PRED_和RESID分别是非线性回归模型的预测值和残差，比较两列残差得，非线性回归模型的拟合效果更好一些。
Parameter EstimatesStd.Error4.259.02295% Confidence IntervalLower BoundUpper Bound105.301126.143-.650-.540ParameterabEstimate115.722-.595
图10-23 例10-8回归方程的参数估计 图10-24 例10-8预测值和残差
本章小结
本章由浅入深介绍一元线性相关与回归、多元线性相关与回归、多元线性逐步回归、曲线拟合和非线性回归。要记住每个方法应该选择的菜单和相关的对话框的操作，要结合实例，边看书边操作，在分析解释计算结果时，特别要注意与专业知识的结合。
本章介绍的线性回归模型要求因变量是连续的正态分布变量，当因变量是分类变量时，线性回归模型的假设条件不成立了，这是，要用Logistic回归模型，它对因变量的分布没有要求。在下一章中将介绍Logistic回归分析。
习题10
习题10-1 研究中国林蛙在不同温度与心律之间的关系，数据见表10-6，试进行相关分析与回归分析。
表10-6 中国林蛙在不同温度下的心律
温度x 心率y
2 5
4
6
8
10 12 14 16 18
11 13 14 22 23 32 29 32
习题10-2 某血吸虫防治站调查10个乡的钉螺密度（只/平方米）与居民血吸虫感染率（%），数据见表10-7，问钉螺密度与居民血吸虫感染率是否有关？
表10-7 钉螺密度与居民血吸虫感染率
钉螺密度x 感染率y
33 52 22 42 35 49 31 39 45 43 17 24 13 27 19 23 18 18 24 20
习题10-3 27名糖尿病人的血清总胆固醇x1（mmol/L）、甘油三脂x2（mmol/L）、空腹胰岛素x3（?U/ml）、糖化血红蛋白x4（%）、空腹血糖y（mmol/L）的测量值列于表10-8
105 10 相关与回归分析
中，试①建立血糖与其它几项指标关系的多元线性回归方程；②用逐步回归法筛选自变量。
表10-8 糖尿病人的血糖及有关变量的含量
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x1 x2 x3 4.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 x4 6.9 y 序号 x1 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 x2 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 x3 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.31 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45 x4 y 5.68 1.90 3.79 1.64 6.02 3.56 4.85 1.07 4.60 2.32 6.05 0.64 8.2 11.2 15 8.8 16 10.5 10.9 8.0 10.1 10.3 14.8 7.1 9.1 8.9 10.8 9.9 10.2 8.0 13.6 11.3 14.9 12.3 16.0 9.8 13.2 10.5 20.0 6.4 13.3 9.6 10.4 10.8 12.3 17 8.3 11.6 18 7.5 13.4 19 13.6 18.3 20 8.5 11.1 21 11.5 12.1 22 7.9 7.1 8.7 9.6 23 8.4 24 9.3 25 4.90 8.50 12.60 7.08 3.00 6.75 3.85 2.11 16.28 4.65 0.63 4.59 1.97 4.29 1.97 7.97 1.93 6.19 1.18 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 11.54 10.89 5.84 3.84 0.92 1.20 7.8 10.6 26 9.9 6.9 8.4 27 9.6 习题10-4 在蒙药无味甘露胶囊的提取工艺研究中，测得芦丁对照浓度与吸光度数据见表10-9，折线图呈幂函数回归y＝axb曲线。试建立芦丁吸光度关于浓度的回归方程。
表10-9 蒙药无味甘露胶囊芦丁对照浓度与吸光度数据 浓度 0.212 0.424 0.199 0.636 0.293 0.848 0.400 1.060 0.508 1.720 0.615 吸光度 0.099 习题10-5 在石杉碱提取工艺研究中，资料见表10-10，折线图呈指数回归y＝aebx曲线。试建立Hup-A浓度关于盐酸PH的回归方程。
表10-10 石杉碱提取工艺中Hup-A浓度与盐酸PH值测定 盐酸PH
1.0
1.5 19.4
2.0 20.1
2.5 21.3
3.0 23
3.5 25.7
Hup-A浓度 19.3
习题10-6 为研究大气对日光紫外线辐射的影响，在某晴天测得不同时间紫外线辐射
2
强度（0.01 NKMnO4ml／100cm·min）见表10-11。试建立回归方程。
表10-11 大气对日光紫外线辐射的影响研究
时间ｘ 紫外线强度ｙ
9 0.47
10 0.57
11 0.68
12 0.73
13 0.67
14 0.55
15 0.38
