十四届B
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题B（初一组）
（时间：2009年4月11日10:00~11:30）
一、填空题（每题10分，共80分）
44?1?5?-3????-6.5??(?2)?(?6)?189 1．计算：?3?134?13?161574?10??1?100原式=???????????32?????=+2+==18399 ?3?13?2??6?9解析：
222．设有理数a,b,c在数轴上的对应点如下图所示，则代数式b?a?a?c?c?b?2(c-b) 解析：
由数轴可知c?1;b?a?0 则b-a=-（b-a）； a-c=-（a-c）；c-b=（c-b）
? b-a?a-c?c-b=-（b-a）-（a-c）+（c-b）=2（c-b）
3．设m,n是非负整数且3m>2n，则三个n次多项式之积与一个5m次多项式之和是（5m）次多项式
39?3m?2n ，?m?n，?5m>m?3n，?三个n次多项式之积与一个5m次多项式之和是5m次多项式22解析：
4322x?ax?bx?cx?d?(x?1)(x?2)(x?4)，则a+b+c+d=（-1） 4．已知
432解析：特值法，令x?1，代入算式 x+ax+bx+cx+d=1+a+b+c+d=0 即 a+b+c+d=?1
5．已知a,b是有理数。下列各式：①a2+b2+|a|+|b|+1<0,②|a+b|<|a-b|, ③a2+b2-2|a|-2|b|+1<0,中一定不成立的是（①）（填写序号） 解析：
a2?b2?a?b?1必定大于等于1.
6．已知
?a?b?22?1??a?b?2??1,x?ay?1,bx?y?3222，则
2?x?y?2?1??x?y?2??2211
?1=?a-b??1?1， ?a+b-2??0,??a-b??1?1,?a+b-2??0 解得 a=b=1，解析：
22代入x+ay=1,bx-y=3,解得 x?2 y??1 ，代入?x?y??1??x?y?2??11?a-b?7．购车时，张明向银行贷款10万元，年利率5%，按复利计算（每年的利息计入次年的本金计算），如果这笔贷款分三年等额归还，则张明每年要归还银行（3.7）万元（精确到千元）。
设每年归还x万元。年共还款33x万元,则第一年本金10万元，产生利息10?5% ? 0.5万元,第二年本金为10?0.5?x万元，产生利息?10?0.5?x??5% ? ?0.525?0.05x?万元第三年本金为?10?0.5?x? ? ?0.525?0.05x?? 11.025-1.05x万元解析：产生利息?11.025?1.05x??5% ?0.55125?0.0525x
?三年本息共计10+0.5+?0.525?0.05x???0.55125?0.0525x??11.57625?0.1025x万元?11.57625-0.1025x=3x, 解得 x ? 3.7万元8，正整数n的所有因数从小到大排列起来：1=d1 第 1 页 共 3 页 十四届B 由已知得，k ? 5，即n至少还有d2、d3、d4三个因数，所以n至少有3个质因子（若n仅有两个质因子a和b，则n的因数只有1、a、b、n四个）当d2 ? 2，d3 ? 3，d4 ? 6，d5 ? 9，n取最小值18,当d2 ? 2，d3 ? 4，d4 ? 5，d5 ? 8，n取第二小的值40当d2 ? 2，d3 ? 3，d4 ? 6，d5 ? 9，n取第三小的值54,所以第三小的比第二小的大14 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9.数轴上有一动点a，从原点出发沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位，经过10次移动，a点移动到距离原点6个单位处，问：点a的移动方法有多少种？ 由题意得,动点a每次移动一个单位，而移动10次后，a点移动到距离远点6个单位处则相当于10个1之间添加+和-符号相加得到6或者-6, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析：?1?当a点移动10次后在原点的右边，则a向右移动了8次，向左移动2次,2 即有8个“+”号，2个“”-号，所以满足条件的种数：C10=45种。 ?2?同理,a点移动10次后，在原点的左边的种数也是45种。所以：满足条件的移动方法有90种。10．对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程1?3x?5?6x?5??0 ??7???6x?53x?1? ???6x?5??6x?5?3x?1751-3x+5??0,移项，得?=?k?z,??5解析：?7???7???6x?5-1?3x?1 ?5?7533x?13x?110解得2?x?,而?k?z,则1??9553?3x?1???5=1?x?2?2???11?3x?1??11 即?=2 解方程组，解得?x?，综上，x=?3?5??316?3x?1??16=3x??5??3??3? 11.点P为矩形ABCD上的一点，点O为ΔPBC内的一点，若∠OBC=1∠PBC, ∠OCB=1∠PCB,且∠ 33BOC=140°,求∠ABP+∠PDC的度数。 由题意得，设?OBC=x? ?OCB=y? 则?PBP=2x?,?PCO?2y? 如图 x?+y?=40?????????①??解析：又??BOC=140? ??? 3x+?ABP?90???????②? 3y???PCD?90???????③? 联立方程组 解得 ?ABP??PCD=60? 12在下面9X9的方格网的每个小方格内填入1~9中的一个，要求每行、每列、每个用粗线标注的3X3区域内的9个数字均不能重复；在相邻两个小方格的公共边上标有数时，还要求这两个小方格内的数字之积等于该数。 第 2 页 共 3 页 十四届B 解析：如图所示，该图就是满足条件的填法。 三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13设三个数xyzt、yzt、zt的和为4493，求两位数yt. 由题意得知，x、y、z、t均为正整数，则把题目的三个数竖加起来，如右边 x y z t +y z t?z t?4493?3t=3 ①? 所以有 ?1? ?3t?13 ②,只有当满足① 时，即t=1 时，满足题意?3t?23 ③?解析： ?3z?9 ①同理,?2???3z?19 ②,也是只有满足①时，即z=3时，满足题意?3z?29 ③??2y?4 ①?2 ?3??,此时解得 y?? 均满足题意。?7?2y?14 ② ?a?当y=2时，则x=4，此时xyzt=4231,?b?当y=7时，则x=3，此时xyzt=3731 所以，两位数 yt是21 或者 71。 DFbAEd?,?FCaEBc，14．下图中，平行四边形ABCD的面积是1，E、F分别是AB、CD上的点，AF与DE交于G.已知 问：三角形ADG的面积是多少？ 解析： 如图，连接AC。则?ACD的面积为同法，连接BD，求得 S?ADE=S?ADF1bb，易知??S?ADF?;2S?ACDa?b2?a?b?d ?1?2?c?d?b?x2?a?b? 如图，连接EF，则ADFE是梯形，设x=S?DFG,则因为S?DFGS?EFGxdxb2bx= 所以 ?，即 ??2S?ADFS?AEF2?c?d?2?a?b?????4?a?b?bd?????2?a?b???2?c?d????dbb2ad?bd?bc?bdb2也就是??x?，x?22?2?c?d?2?a?b???2?a?b??c?d?4?a?b?4?a?b???所以 x=?c?d?b2?c?d?b2bbd，所以S?DAG?S?ADF?S?DGF = -=2?a?b??ad?bc?2bd?2?a?b?2?a?b??ad?bc?2bd?2?ad?bc?2bd?第 3 页 共 3 页
