专题01数与式的运算
高中必备知识点1：绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：
?a,a?0,?|a|??0,a?0,
??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
典型考题
【典型例题】
阅读下列材料：
我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即x=x?0，也就是说，x表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为x1?x2表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离；
例1解方程|x|=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为?2，所以方程|x|=2的解为x??2． 例2解不等式|x－1|＞2．在数轴上找出|x－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x－1|=2的解为x=－1或x=3，因此不等式|x－1|＞2的解集为x＜－1或x＞3．
例3解方程|x－1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x=2；若x对应的点在－2的左边，可得x=－3，
因此方程|x－1|+|x+2|=5的解是x=2或x=－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x+2|=3的解为 ； （2）解不等式：|x－2|＜6； （3）解不等式：|x－3|+|x+4|≥9； （4）解方程: |x-2|+|x+2|+|x-5|=15.
【答案】（1）x?1或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥4或x≤－5；（4）x??【解析】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得x?1或x=－5．
（2）在数轴上找出|x－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|x－2|＜6的解集为－4＜x＜8． （3）在数轴上找出|x－3|+|x+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边． 若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在－4的左边，可得x=－5， ∴方程|x－3|+|x+4|=9的解是x=4或x=－5， ∴不等式|x－3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤－5． （4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．
1020 . 或x?332010；若x对应的点在－2的左边，可得x??， 331020 . ∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是x??或x?33若x对应的点在5的右边，可得x?【变式训练】
实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简
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