课下层级训练(十四) 利用导数研究函数的单调性
[A级 基础强化训练]
1．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )
?1?A．?0，? ??
a?
1??C．?－∞，?
?1?B．?，＋∞? ?a?
D．(－∞，a)
a?
11?1?A [由f′(x)＝－a>0，得0 xa?a? 2．(2019·山东聊城月考)函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4) xxB． (0, 3) D． (2，＋∞) xD [因为f(x)＝(x－3)e，则f′(x)＝e(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 3．(2019·重庆涪陵月考)已知函数f(x)＝x＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( ) 2 A [设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．] 13 4．已知函数f(x)＝x＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的( ) 2A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 32 A [f′(x)＝x＋a，当a>0时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增，由f(x) 2在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．] 5．(2019·广西钦州质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－ ?1?∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f??，c＝f(3)，则( ) ?2? A．a B．c 1 C [依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1， 2 1 ?1??1?因此有f(－1) e 6．(2019·四川成都月考)函数f(x)＝的单调递减区间是__________. xx(－∞，0)，(0,1) [f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， e·x－ee f′(x)＝＝2 xxxxx－1 ，令f′(x)＜0，解得x＜1，故f(x)在(－∞，0)，(0,1)x2递减．] 7. (2019·辽宁阜新二中月考)若函数f(x)＝x－ax＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的范围为__________. 2a≥3 [∵函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，∴f′(x)＝3x－2ax≤0在(0,2) 3 2 3 内恒成立．即a≥x在(0,2)内恒成立． 2 t＝x在(0,2)上的值域为(0,3)，∴a≥3.] 32 ?π?8．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f??，f(2)的大小关系为________. ?2? f(－3)＜f(2)＜f?? [函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)． 2 又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 当x∈? ?π??? ?π，π?时，f′(x)≤0. ??2? ?π?所以f(x)在区间?，π?上是减函数， ?2??π?所以f??＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．] ?2? 9．已知函数f(x)＝e(ax－2x＋2)(a>0)．试讨论f(x)的单调性． 解 由题意得f′(x)＝e[ax＋(2a－2)x](a>0)， 2－2a令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. x2 x2 a①当0 ?2－2a，＋∞?，单调递减区间为 ? ?a? ?0，2－2a?； ?a??? ②当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增； 2－2a??③当a>1时，f(x)的单调递增区间为?－∞，?和(0，＋∞)，单调递减区间为 ?a? 2 ?2－2a，0?. ?a??? 10．(2018·河北邯郸考前保温卷)已知函数f(x)＝e－x－ax. (1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，求a，b的值； (2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的最大值． 解 (1)∵f(x)＝e－x－ax， ∴f′(x)＝e－2x－a，则f′(0)＝1－a. 由题意知1－a＝2，即a＝－1. ∴f(x)＝e－x＋x，则f(0)＝1. 于是1＝2×0＋b，b＝1. (2)由题意f′(x)≥0，即e－2x－a≥0恒成立，∴a≤e－2x恒成立． 设h(x)＝e－2x，则h′(x)＝e－2. ∴当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，h(x)为减函数； 当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)为增函数． ∴h(x)min＝h(ln 2)＝2－2ln 2. ∴a≤2－2ln 2，即a的最大值为2－2ln 2. [B级 能力提升训练] 132 11．若函数f(x)＝x－x＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是 3( ) A．(－∞，－3] C．[1，＋∞) 132 B [因为f(x)＝x－x＋ax－5， 3所以f′(x)＝x－2x＋a＝(x－1)＋a－1， 132 如果函数f(x)＝x－x＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或 3 ??f′??f′? 2 2 x2 x2 xx2 xxxxB．(－3,1) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) －1≤0，2≤0， 解得a≥1或a≤－3， 于是满足条件的a∈(－3,1)．] 12．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x) A．8 f2 <16 f1f2 <4 f1 B．4 f2 <8 f1f2 <3 f1 3 B [∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0， fx?f′x·x2－2xfxxf′x－2fx?∴?′＝＝>0， 2?4 xx3?x? ∴y＝∴ fx在(0，＋∞)上单调递增， x2 2 f2 2 > f1 1 2 ，即 f2 >4. f1 ∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0， fx?f′x·x3－3x2fxxf′x－3fx?∴?′＝＝<0， 3?6 xx4?x? ∴y＝∴ fx在(0，＋∞)上单调递减， x3 3 f2 2 < f1 1 3 ，即 f2f2 <8. 综上，4<<8.] f1f1 13．(2019·山东临沂检测)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为__________. (2，＋∞) [令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1. 由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．] 1312?2?14．若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围32?3?是__________. ?－1，＋∞? [对f(x)求导，得 ?9??? f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－?x－?2＋＋2a. 2 ?? 1?? 14 21?2??2?2 当x∈?，＋∞?时，f′(x)的最大值为f′??＝＋2a. 令＋2a>0，解得a>－，所以 99?3??3?9 ??a的取值范围是?－，＋∞?.] ? ln x＋k15．(2019·云南大理质检)已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，xe 1?9 f(1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 1 －ln x－kx解 (1)f′(x)＝(x>0)． xe 4
