10.6 几何概型
[知识梳理] 1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
3．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度?面积或体积?
.
试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?
P(A)＝[诊断自测] 1．概念思辨
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(必修A3P137例2)在区间[10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数
a<13的概率是( )
1137A. B. C. D. 371010答案 C
13－103
解析 因为a∈[10,13)，所以P(a<13)＝＝. 20－1010故选C.
(2)(必修A3P142A组T2)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
答案 A
3
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，8
P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A.
3．小题热身
(1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
1137
A. B. C. D. 4248答案 C
282613
解析 设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，其对应区域的面积为S＝4×4＝16.
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图，易知阴影区域的面积为
12
12
S′＝16－×2×2－×2×2＝12，
∴P＝S′123
＝＝.故选C. S164
(2)(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
答案 0.18 解析 由题意知，
S阴180＝＝0.18. S正1000
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
题型1 与长度(角度)有关的几何概型
典例1 (2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
1123A. B. C. D. 3234
将时间长度转化为实数的区间长度，代入几何概型概率公式．
答案 B
解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到10＋10达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为401
＝.故选B. 2
解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超201
过10分钟的概率为1－＝.故选B.
402
2
(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x＋2px＋3p典例2
－2＝0有两个负根的概率为________．
首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入几何概型公式．
2答案 3
解析 设方程x＋2px＋3p－2＝0的两个根分别为x1，x2，由题意得， Δ＝4p－4?3p－2?≥0，??
?x1＋x2＝－2p<0，??x1·x2＝3p－2>0，2
解得 3 2 2 ?2?结合p∈[0,5]得p∈?，1?∪[2,5]， ?3? 故所求概率为?1－2?＋?5－2??3?2?? 5 ＝. 3 [条件探究1] 若将典例2条件“两个负根”变为“无实根”，试求其概率． 12 解 由Δ＝4p－4(3p－2)<0，解得1 5 [条件探究2] 若将典例2条件“两个负根”变为“一正一负两根”，试求其概率． 解 欲使该方程有一正一负两根，只需 ??Δ＝4p－4?3p－2?>0，???x1x2＝3p－2<0， 2 22 解得p<，所以有一正一负两根的概率为p＝. 315 方法技巧 1．与长度有关的几何概型 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 构成事件A的区域长度 . 试验的全部结果所构成的区域长度 P(A)＝ (2)与时间、不等式及其解有关的概率问题 与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．见典例1,2. 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段． 冲关针对训练
