浅谈逆向思维在数学中的应用
曾有某心理学家分别对某大学的文学系和理学系的学生进行这样的测试：
问题：往水池中注水，每小时水增加1倍，10小时可把水池注满；问水池里的水至何时可达一半？
结果出现以下三种类型的解答：
（1） 设第1小时水池里有水量为2a，则10小时水池里有水量为210a，因而半池水的水
2a2109由题设可知2ta?29a。故t?9.?到?2a.设水池里的水t时可达一半，
量为
第9小时时水池里的水可达一半。
（2） 设1小时水池里有水量为1个单位，由题意则1~10小时水池内分别有水为1，2，4，
8，16，32，64，128，256，512个单位，即水池可存水512个单位，那么半池水为256个单位；即第9小时水池里的水应有一半。
（3） 按题意，前一小时水池里的水量是后一小时水池里水量的一半。∵10小时水池里水满，∴第9小时水池里的水应有一半。
第一种方法太复杂，第二种方法太呆板。结果表明理学系的学生用“顺向思维”的第一种复杂的方法者居多；而文学系的学生都用“逆向思维”的第三种方法者居多。这是因为理学系的学生利用已有的数学知识进行演算是他们遇到这类问题处理的一种习惯性思维方；，而文学系的学生正是由于缺乏这方面的数学知识而无法进行演算，因而选用了第三种只需很少的数学知识的方法。这表明，顺向思维的习惯有时妨碍了更有效的解决问题。因此，在平时学习数学的过程中，应加强逆向思维的训练和积累。 一、逆向设问。
由于学生长期习惯于“已知——求证”式的题型训练，已形成了习惯性的正向思维定势；因此在平时的练习中可有意地逆向设问，从而可破除这种正向思维定势的负面影响。
??2?x?例1、 已知不等式sinx?bsinx?c?0的解集为?.求b,c的值。
63 分析：这是一道不等式的还原题，由不等式的解求出原不等式。
???x? 解：∵ ?
63 ∴?12?sinx?32，可知关于sinx的方程sin2x?bsinx?c?0有两根
sinx1??12 ， sinx2?3232；
由韦达定理得 b??(?二、逆向思考。
12?)?1?23 c??12?32??34
逆向思考就是把问题发生的顺序倒过来进行分析思考，往往可获得解决途径。 例2、 过点S引三条不共面的直线SA，SB，SC．如图；
?? ?BSC?90，?ASC??ASB?60．若截取SA?SB?SC?a;
求证：平面ABC?平面BSC
分析：由题意易知AB?AC，取BC的中点H， 则AH?BC．要证平面ABC?平面BSC
只需证AH?平面BSC，而要证明AH?平面BSC 则只需证明AH?SH即可． 证明： ∵SA?SB?SC?a 又∵?ASC??ASB?60?
∴△ASB和△ASC都是等边三角形 ∴AB?AC?a
取BC的中点记为H，连接AH ∴AH?BC
在Rt△BSC中，BS?CS?a． ∴SH?BC．BC?2a a2ABSHC ∴AH2?AC2?CH2?2
又∵SH2?a22a2，在△SHA中，
∵AH2?22，SH2?a22，SA2?a2
∴SA2?SH?AH2
∴AH?SH．
∴AH?平面SBC ∵AH?平面ABC
∴平面ABC?平面BSC． 三、逆用公式定理．
有些问题通过逆用公式、定理，可获得巧妙解法．
例3．在△ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c． 若bcosC?(2a?c)cosB．求?B的大小．
解：逆用正弦定理，有
sinBcosC?2sinAcosB?cosBsinC
∴2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC?sin(B?C) 又在△ABC中，sin(B?C)?sinA?0 ∴2sinAcosB?sinA 即在△ABC中，cosB?12 ∴?B??3
四、针对题目条件而逆——补集法
当题目条件本身复杂求解困难时，可考虑其反面条件，求出结论再取其结论的反面即可．
例4、有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码的末位数相同的概率．
分析：题目中至少有2位同学彩票号码的末位数字相同，包含多个互斥事件，显然费事．若考虑“至少有2位同学彩票号码的末位数相同”的反面是“每位同学彩票号码的末位数字都不相同”．显然反面条件简单．
解：记“4位同学所买彩票号码的末位数字各不相同”为事件A．
A101044 ∴P（A）??63125
∴ 至少有两位同学的彩票号码的末位数字相同的概率 P（A）?1?P（A）?62125
从以上例题可以看出，当正向思维受阻或需迂回曲折方能达到目的时，不妨改变思维
方向而进行逆向思维时，往往能开拓新的解题途径，得出简捷甚至奇异的解．逆向思维不仅在数学中有着广泛的应用而且在对许多生活、生产中的问题进行逆向思维时往往也能闪烁出智慧的光芒．因此，平时多重视对学生逆向思维的训练，这有利于激发学习数学的兴趣，培养良好的思维品质，在开发智力，培养能力方面都具有十分重要的意义．
