向心加速度
【第一部分】知识点分布
1.理解匀速圆周运动中加速度的产生原因。（重点） 2.掌握向心加速度的确定方法和计算公式。 （重点）
3.向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的应用（难点）
【第二部分】高频常考知识点总结
通过前面的学习我们知道在现实生活中，物体都要在一定的外力作用下才能做曲线运动，如下列两图：
对于图中的地球和小球，它们受到了什么样的外力作用？它们的加速度大小和方向如何确定？
一、速度变化量
?v 从加速度的定义式a=?t可以看出。a 的方向与?v相同，那么?v的方向又是怎么样的呢？
问题：1.速度的变化量?v是矢量还是标量？
2.如果初速度v1和末速度v2不在同一条直线上，如何表示速度的变化量?v？ 结论：（1）直线运动中的速度变化量
如果速度是增加的，它的变化量与速度方向相同（甲）；如果速度是减少的，其速度变化量就与初速度的方向相反（乙）。
（2）曲线运动中的速度变化量
物体沿曲线运动时，初速度v1和v2不在同一直线上，初速度的变化量?v同样可以用上述方法求得。例如，物体沿曲线由A向B运动，在A、B两点的速度分别为v1和v2。在此过程中速度的变化量如图所示：
We must not lie down,and cry,God help us - 1 - 我们不能坐以待毙，等待上帝的救助
可以这样理解：物体由A运动到B时，速度获得一个增量?v，因此，v1与?v的矢量和即为v2。我们知道，求力F1 、F2的合力F时，可以以F1 、F2为邻边作平行四边形，则F1 、F2所夹的对角线就表示合力F。与此类似，以v1和?v为邻边作平行四边形，两者所夹的对角线就是v1和?v的矢量和，即v2，如图所示。因为AB与程度CD平行且相等，故可以把v1、?v、v2放在同一个三角形中，就得到如图所示的情形。这种方法叫矢量三角形法。
[经典练习]
画出做平抛运动的物体在运动的过程中，连续相等的时间内速度变化量的矢量图．
点评：该训练设计的目的是让学生通过交流与讨论进一步加深和理解速度变化量的求法． 二、向心加速度（矢量方向和大小，先定性后定量） 1.向心加速度的方向
有了速度的变化量的概念以后我们到底应该怎样表示圆周运动的加速度的方向呢？
(1)在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么? (2)将vA的起点移到B点时要注意什么?
(3)如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量△v？ (4)△v／△t表示的意义是什么?
(5)△v与圆的半径平行吗?在什么条件下．△v与圆的半径平行?
在图丁中，△v的延长线并不通过圆心，为什么说这个加速度是“指向圆心”的?
“将vA的起点移到B，同时保持vA的长度和方向不变，它仍可代表质点在A处的速度． 得出结论：当△t很小很小时，△v指向圆心．
概括性地指出：上面的推导不涉及“地球公转“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心．这个加速度称为向心加速度．
由甲，乙，丙，丁四幅图中?v的变化趋势可以看出：当AB两点非常靠近的时候，vA和vB就非常靠近且相等。当AB两点非常非常接近时?v趋向于垂直vA和vB。即平行与半径，或者说指向圆心。
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结论：由上面一般性的讨论我们可以得出更一般性的结论即：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心。这个加速度叫做向心加速度。 2.向心加速度的大小
匀速圆周运动的加速度方向明确了，它的大小与什么因素有关呢？ （1）公式推导 推导过程如下：
在图中，因为vA与OA垂直，vB与OB垂直，且vA=vB，OA=OB，所以?OAB与vA、vB、?v组成的矢量三角形相似。
用v表示vA和vB的大小，用?l表示弦AB的长度，则有 ?v?lv??v??l?vr或r
?v?lv???t用除上式得?t?tr
?v当?t趋近于零时，?t表示向心加速度a的大小，此时弧对应的圆心角?很小，弧长和弦
?vr?van????l?r??t?tr?vw 长相等，所以，代入上式可得
v2an?an?r?2v?wrr利用可得或。
（2）对公式的理解
v2an?y?kxyxr中，强调：①在公式中，说与成正比的前提条件是k为定值。同理，在公式
an?r?2anav当为定值时，与r成反比：在公式中，当w为定值时，n与r成正比。因此，这
两个结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾。②对于大小齿轮用链条相连是，两轮边缘上
v2v2aA?aB?rrB,所以A、B两点的向心加速度与半A,的点线速度必相等，即有vA?vB?v。又
径成反比。而小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有
wA?wC?w2a?rwBB。又，
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，所以B、C两点的向心加速度与半径成正比。
（3）向心加速度的几种表达式
v2an?an?r?2r除了上面的、外，向心加速度还有哪些形式呢？ 提示：转速、频率、周期等因素。
aC?rCw2w?结论：联系4?2an?222T和an?4?fr。 向心加速度的物理意义 分析：速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向(如坐标轴)之间的夹角来描述.做匀速圆周运动的物体的速度方向(圆周的切线方向)时刻在变化，在Δt时间内速度方向变化的角度Δφ，等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期T内半径转过2π弧度，速度方向变化的角度也是2π弧度.因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度，
??2???tT 即ω=
上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢.角速度相等，速度方向变化的快慢相同.
v2由向心加速度公式a=ω2r=r=vω可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速度的大小有关，从a=vω看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积.
例一：在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的A、B、C三点，它们有相同的角速度ω,但线速度不同，vA=rAω,vB=rBω,vC=rCω，如图所示.因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等.aA 2??2?fan?r?2T ,代入可得： 1例二：A、B两个物体分别沿半径为rA和rB做圆周运动，rA=2rB，它们的角速度不同，设2ωA=2ωB，因此它们的线速度的关系为vA=2vB，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即aA=aB.但速度方向变化的快慢却不同. 综上所述：向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率.速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢。 We must not lie down,and cry,God help us - 4 - 我们不能坐以待毙，等待上帝的救助
