1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1
[学习目标] 1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数.2.能利用给出的基本初等函数
x的导数公式求简单函数的导数.
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝ xf(x)＝x
思考 (1)函数f(x)＝c，f(x)＝x，f(x)＝x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ 1
(2)函数f(x)＝导数的几何意义是什么？
x
答案 (1)常数函数f(x)＝c：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴，斜率为0；当y＝c表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y＝x表示路程与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y＝kx：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k，|k|越大，函数变化得越快.
二次函数f(x)＝x2：导数y′＝2x，几何意义为函数y＝x2的图象上点(x，y)处的切线斜率为2x，当y＝x2表示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示在时刻x的瞬时速度为2x.
1111
(2)反比例函数f(x)＝：导数y′＝－2，几何意义为函数y＝的图象上某点处切线的斜率为－2. xxxx知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1 －导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x 1f′(x)＝－2 x1f′(x)＝ 2xf′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
思考 由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？
答案 因y＝x，得y′＝1；y＝x2，得y′＝2x，故y＝xα的导数y′＝αxα1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，
－
f′(x)＝ex 1f′(x)＝(a>0，且a≠1) xln a1f′(x)＝ x原幂作系数”.
题型一 运用求导公式求常见的基本初等函数的导数 例1 求下列函数的导数：
1π
(1)y＝5；(2)y?log1x；(3)y＝cos ；(4)y＝22x.
x4
21?511－5－6
5′＝(x)′＝－5x＝－6；(2)y′＝解 (1)y′＝?＝－； ?x?x1xln2
xln2π
cos ?′＝0；(4)y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·(3)y′＝?ln 4. 4??反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
1?x
(1)y＝x8；(2)y＝??2?；(3)y＝xx；(4)y＝log1x.
31?x1?1?xln 2； 解 (1)y′＝8x7；(2)y′＝?ln ＝－?2?2?2?311(3)∵y＝xx＝x，∴y′＝x2；(4) y′＝＝－.
21xln 3
xln
3题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
π1?例2 求过曲线y＝sin x上点P??6，2?且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x， π1?曲线在点P??6，2?处的切线斜率是：y′|
?6321x?π3＝cos＝. 62
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－
2， 3
π123πx－?，即2x＋3y－－＝0. 故所求的直线方程为y－＝－?2233?6?
反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下).
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程. 解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1.
又∵f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
2
(2)设切点坐标为(x0，x30－4x0＋5x0－4).
2∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x0－8x0＋5)(x－2). 3322又∵切线过点(x0，x0－4x20＋5x0－4)，∴x0－4x0＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2).
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.
当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0； 当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错
例3 求函数y＝3x2的导数.
3错解 ∵y＝3x2，∴y＝x，故y′＝x2.
2
错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果. 2?正解 ∵y＝x＝x，∴y′＝x3.
3
32231321防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：x＝x，n
nmmn1xm＝xm?n.
1.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( ) A.0 C.2 答案 D
1
解析 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－. x＋1
由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1. 又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3. 2.函数f(x)＝x，则f′(3)等于( )
B.1 D.3
A.
313 B.0 C. D. 622x113答案 A解析 ∵f′(x)＝(x)′＝，∴f′(3)＝＝. 2x2363.给出下列结论：
ππ11
cos ?′＝－sin ＝－；②若y＝2，则y′＝－2x－3； ①?6??62x1③若f(x)＝3x，则[f′(1)]′＝3；④若y＝5x，则y′＝5x.
5其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A
π1π3
cos ?′＝0，所以①错误；y′＝?2?′＝(x－2)′＝－2x－3，所以②正确；因为f(x)＝解析 cos ＝为常数，则?6???x?621?3x，所以f′(x)＝3，所以[f′(1)]′＝0，所以③错误；y′＝(5x)′＝(x)?＝x5，所以④错误.
54.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为. 1答案 e2
2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. 112
∴S△＝×1×|－e|＝e2.
225.求下列函数的导数： 1
(1)y＝3；(2)y＝3x.
x
1?－3－3－1－43′＝(x)′＝－3x解 (1)y′＝?＝－3x. ?x?13?11?3(2)y′＝(x)′＝(x)?＝x＝x.
33
315413
12
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导.
xx
如求y＝1－2sin2的导数.因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
223.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
一、选择题
