轩辕工作室精心汇编
第六章 不等式
●考点阐释
不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.
不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.
●试题类编 一、选择题
1.（2003京春文，1）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ） A.a+c>b+d B.a－c>b－d
C.ac>bd
D.
ab? dc?x2?1?02.（2002京皖春，1）不等式组?的解集是（ ）
2?x?3x?0A．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜0＜x＜1}
B．｛x｜0＜x＜３} D．｛x｜－1＜x＜３}
3.（2002全国，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ） A．｛x｜0≤x＜1}
B.｛x｜x＜0且x≠－1} D.｛x｜x＜1且x≠－1}
C．｛x｜－1＜x＜1}
4.（2001河南、广东，1）不等式
x?1>0的解集为（ ） x?3A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1或x>3} D.{x|1 5.（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ） A.18 B.6 C.2 3 D.243 6.（2001上海春）若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 a?b17.（2000全国，7）若a＞b＞1，P＝lga?lgb，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则（ ） 22A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R 1 _ _______________________________ 轩辕工作室精心汇编 C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q ※ 8.（2000全国，6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 不超过500元的部分 超过500元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 ?? 税率 5% 10% 15% ? 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元 9.（1999上海理，15）若a 1111?和均不能成立 ?ab|a||b|B. 1111?和均不能成立 ?a?bb|a||b|C.不等式 1111?和（a+）2>（b+）2均不能成立 ba?baa1111和（a+）2>（b+）2均不能成立 ?b|a||b|aD.不等式 ※ 10.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片 软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 ?x?0?11．（1997全国，14）不等式组?3?x2?x的解集是（ ） ?||??3?x2?xA.｛x｜0＜x＜2} C.｛x｜0＜x＜ B.｛x｜0＜x＜2.5} D.｛x｜0＜x＜3} 6} 1212.（1994上海，12）若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A.（1－a）＞（1－a） C.（1－a）3＞（1＋a）2 二、填空题 13.（2002上海春，1）函数y＝ 13 B.log1－a（1＋a）＞0 D.（1－a） (1?a)＞1 13?2x?x2的定义域为 ． 14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 . _ _______________________________ 2 轩辕工作室精心汇编 15.（1995全国理，16）不等式（ 1x）32?8＞3 －2x 的解集是_____. 16.（1995上海，9）不等式 2x?1＞1的解是 . x?317.（1994上海，1）不等式|x＋1|＜1的解集是_____. 三、解答题 18.（2002北京文，17）解不等式19．（2002北京理，17）解不等式| ※ 2x?1＋2＞x． 2x?1－x|＜2. 20.（2002上海，20）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 ［200，400) ［400，500) ［500，700) ［700，900) ?? 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 ?? 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品 得到的优惠率＝ 购买商品获得的优惠额.试问： 商品的标价1的优3（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少? （2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于惠率? 21.（2002江苏，22）已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2． （1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2 b； b； （2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件. 22.（2001年天津，7）解关于x的不等式 ※ x?a＜0（a∈R）． 2x?a23.（2000上海春，19）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少? ※ 24.（2000京皖春文24，理23）某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.4元／kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为ｋ）.该地区电力的成本价为0.3元／kW·h. （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； _ _______________________________ 3 轩辕工作室精心汇编 （2）设ｋ＝0．2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? （注：收益＝实际用电量×（实际电价M成本价）） 25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）＝ x2?1－ax，其中a＞0． （1）解不等式f（x）≤1； （2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数. 26.（1999全国理，19）解不等式 3logax?2?2logax?1（a＞0且a≠1）. 27．（1998全国文，20）设a≠b,解关于x的不等式a2x＋b2（1－x）≥［ax＋b(1－x)］2． ※ 28．（1998全国文24、理22）如图6—1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中 图6—1 该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）? 29.（1997全国，22）甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／ 时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元. （1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶? 30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）＝ax2＋bx+c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两根x1、x2满足0＜x1＜x2＜ ※ 1． ax1． 2（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1； （Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜ 31．（1996全国理，20）解不等式loga（1?1）＞1． x32．（1996全国文，20）解不等式loga（x＋1－a）＞1． 33．（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2＋bx＋c，g（x）=ax+b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1． （Ⅰ）证明：|c|≤1； （Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2； （Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）. 34.（1994全国文，22）已知函数f（x）=logax（a>0，且a≠1），x∈［0，+∞）.若x1，x2∈［0，+∞），判断 x?x21［f（x1）+f（x2）］与f（1）的大小，并加以证明. 22答案解析 _ _______________________________ 4
