必修1基础练习
一.选择题
1.若a,b为实数，集合A=?a,?b?,1?，集合B={a2,a+b,0},若A=B则a2007+b2007等于( ) ?a?A.1 B.-2 C.2 D.-1 简答：a=-1,b=0 选D
x?????1?2.若集合S=?y|y????1,x?R?,T??y|y?log2?x?1??，则S∩T等于（ ）
???2??? A.{0} B{x|x≥0} C.S D.T
简答：S={x|x>-1} T=R 选C
1?的图像，可以把函数y=??3.为了得到函数y=2???2x?2?1???4?x的图像（ ）
A.向左平移0.5个单位长度 B.向左平移1个单位长度 C.向右平移0.5个单位长度 D.以上都不对 简答：y=2??1??2??2x?1?????4?x?12 选C
4.已知函数f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程x-f[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是（ ） A.x2+x-1 B.x2-x+1 C.x2+x-0.5 D.x2+x+1
简答：由已知若x=f[g(x)]有解t，即t=f[g(t)],设g(t)=m,则f(m)=t,即g[f(m)]=g(t)=m,故g[f(x)]=x也应有解 选D 5.若f?x????3x?1?x?0?，则f(-5)等于（ ） ?f?f?x?3???x?0? A.14 B.2 C.5 D.不能确定 简解：A
6.由等式x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3定义映射f：(a1,a2,a3)→b1+b2+b3,则f(3,2,1)等于（ ） A.1 B.-1 C.2 D.0 简解：通过解方程或比较系数选 D
7. 已知f(x)是定义在R上的增函数，g(x)是定义在R上的减函数且g(x)≠0，则下列函数是增函数的是（ ） A.f(-x)-g(x) B.
f(x) C.f(x)+g(-x) D.g(-x)f(x) g(x)简答：选C
8.若定义在R上的函数f(x)和g(x)中，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则下列函数中为奇函数的位（ ） A.f(x)+g(x) B.f(g(x)) C.f(x)-g(x) D.f(x)g(x) 简答：D
a1??29. 若函数y= -x+2ax与y=在区间[1，2]上都是减函数，且函数f?x??log?a?1??x?2ax??在区间
x?12??2
（-0.5，0）内单调递增，则a的取值范围为（ ） A.(0,1) B.[
13, ) C.?0,1? D.不存在 24简答：由前两函数在[1，2]是减函数得0 10. 已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-4·2x+2,当x∈[1,2]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 简答：x>0时，f(x)=-x2+2-x+2-2,故f(x)在[1，2]为减函数，故选B 11.已知定义在R上的函数f(x+2)为奇函数，且对任意两个大于2的不等实数x1,x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]>0,若有两实数a,b满足a+b<4,(a-2)(b-2)<0,则f(a)+f(b)的值（ ） A.恒大于0 B.恒小于0 C.恒大于或等于0 D.恒小于或等于0 简答：由已知f(x+2)+f(-x+2)=0,即图像关于点(2,0)成中心对称，且f(x)是增函数，f(2)=0,由a+b<4,(a-2)(b-2)<0,则b<4-a即f(b) 12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),f(4-x)=f(x),且当x∈ ?0,1?时f(x)是增函数，且f(x)<1，f(0)=0, 则 方程f（x）=lgx的解的个数最多可为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 简答：由已知函数f(x) 有两对称轴，周期为2， 且当x≠1时，f(x)≥0，根据图像选D 二.填空题 13.若函数f(2x-3)是偶函数，则函数f(x)的图像可关于直线________成轴对称，函数f(2x+1)的图像可关于直线_________成轴对称. 简答：由已知y=f(2x-3)的图像关于x=0成轴对称，即f(x)的图像关于直线x=-3成轴对称；f(2x+1)的图像关于直线x=-2成轴对称 14.已知函数 f?x??2x是定义在[-1，7]上的函数，则y?f?x?1??1?3f?x?6?的值域为________. ??1?x?1?7?简答：由已知??1?x?6?7函数y的定义域为{1}，故所求的值域为{-384} ?f(x?1)?1?f(0)?15.若函数f?x??lg简答：0 ?x，则f?0.1??f?0.2??f?0.3????f?0.9??______________. 1?xf(x)?f(1?x)?0 16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>0,且对任意两个实数x1,x2，都有f（x1+x2）+2=f(x1)f(x2),若f(1)=2,则f(2)=__________,f(0)=________;若f(x1)=a,f(x2)=b,且f（x1+x2）=a+b,则a+b的取值范围为__________. 简答：2； 2;?f(x)?0,f(0)?2?f2(0) ；? 三.解答题 17.(1)已知集合A={x|x2-x-6=0},集合B={x|x2+px+q=0},若A∩B=B≠Φ，求实数p,q的值. 解：由已知A={3，-2}，由A∩B=B≠Φ得：B={3}或B={-2}或B={3,-2} 即???p?3?3??p??2?2??p?3?2 解得 或?或??q?3?3?q?(?2)?(?2)?q?3?(?2)?p??6?p?4?p??1 或?或??q?9q?4q??6??? (2) 已知集合A={x|x2-x-6<0},集合B={x|x2+2x-8>0},集合C={x|ax2-4a2x+3a3<0},若A∩B?C,试确定实数a的取值范围. 解：由已知A={x|-2 ?a?0?a?0?23?4a?8a?3a?0或?23?9a?12a2?3a3?0?4a?8a?3a?0?所以实数a的取值范围为{a|1≤a≤2或a<0} 18.根据条件求相应的函数表达式. (1) 函数f?x???3x?3x?2b?22得1?a?2或a?0 9,b?0,x???b,b?,f?x?的最大值7.求f(x). 4?0?b?0.5?b?0.5??解：由已知? 或?3399222?3b?3b?2b??7???2b??7??44??42解得：b=2 所以f(x)??3x?3x?225 4(2)已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f?x??x2?2x,求g(x). 解：设(x,y)为y=g(x)图像上任意一点，由已知（-x,-y）为函数y=f(x)图像上的点，则： ?y?(?x)2?2?x即y??x2?2?x故g(x)??x2?2?x (3)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数，若f(x)-g(x)=2x+x,求f(x)和g(x)的表达式. x??f(x)?g(x)?2?x解：由已知?∵函数f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数 ?x??f??x??g??x??2?x?2x?2?xf(x)??xx??f(x)?g(x)?2?x??2∴? ??xx?x???f?x??g?x??2?x?g(x)??2?2?2? (4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)= - f(x)对任意实数x都成立,且当x∈?0,2?时f(x)=2x-x,求当x??4,8?f(x)的表达式. 解：由已知f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4是f(x)的一个周期 当x∈(4,6 ]时，x-4∈?0,2?∴f(x)=f(x-4)= 2x-4-(x-4)= 2x-4-x+4 当x∈(6,8 ]时，x-4∈?2,4?，（x-4）-2=x-6∈?0,2? ∴f(x)=f(x-4)=-f(x-6) =-[2x-6-(x-6)]= -2x-6+x-6 x?4??2?x?4x??4,6??f(x)??x?6 ???2?x?6x??6,8? 19.已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，并且当x>0时，f(x)>0 (1)求证：f(x)是单调递增的奇函数. (2)若f(1)=1,解关于m的不等式f(3m2-m-2)<3 解：（1）令a=b=0得 f(0)=f(0)+f(0) 即f(0)=0 令a=x,b=-x，得f(0)=f(x)+f(-x) 即f(x)+f(-x)=0，即f(x)=-f(-x) 故f(x)为奇函数 任设x1>x2，则x1-x2>0 令a= x1 b= x2 则f(x1)?f??x2??f?x1?x2? 因为f(x)为奇函数且x>0时，f(x)>0 即f(x1)?f?x2??0即f(x1)?f?x2? 故f(x)是单调递增的函数，即f(x)是单调递增的奇函数. （2）由已知f（2）=f(1)+f(1)=1+1=2,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2+1=3 由不等式f(3m2-m-2)<3得f(3m2-m-2) 1?611?61 ?m?661?611?61} ?m?66所以此关于m的不等式的解集为{m| 20.设f(x)=x2+bx+c,已知f(sinα)≥0和f(2+sinβ)≤0对任意实数α、β都成立. （1）求证：b+c=-1,c≥3 (2)若函数f(sinα)的最大值为8，求b,c 解：（1）证明：??1?sin??1,1?sin??2?3，由已知f(1)≥0且f(1)≤0且f(3)≤0 由f(1)≥0且f(1)≤1,即f(1)=0,即1+b+c=0，即b+c=-1 由f(3)≤0及b+c=-1得 9+3(-1-c)+c≤0,即c≥3 (2) 由已知（1）可知c=1-b≥3得b≤-4,∴ ?b?2 故f(sinα)的最大值为f(-1) 2?b?c??1?b??4 即? 得?1?b?c?8c?3??21.有一个容器的内外壁分别是由如图所示的抛物线C的一部分、等腰梯形ABEF绕公共的对称轴旋转而成的曲面， 其中容器上口直径EF=8，下口直径AB=3，点o到EF的距离是8，BE所在直线与抛物线相切于E点. (1)求容器的高 （2）将一半径为r的球放进容器中，球能触及容器的底部o点，求半径r的取值范围. y F E O 0 x A B 解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则E(4,8)设抛物线所在的函数为y=ax2,B(1.5,b),BE所在直线方程为y=kx-4k+8 则8=16a得a=0.5故抛物线所在的函数表达式为y=0.5x2 ?y?0.5x2由?得0.5x2?kx?4k?8?0，由??k2?4?0.5?(4k?8)?0得k?4 ?y?kx?4k?8所以BE所在直线方程为y=4x-8 即b=6-8=-2 所以容器的高为8+2=10 （2）依题意设球过球心的截面圆半径为r,在（1）中坐标系下的方程为x2+(y-r)2=r2,设（x,0.5x2）为相应截面图中的抛物线上任一点，则抛物线上的点到该圆圆心的距离的平方为： d2?x2?(0.5x2?r)2?141x?(1?r)x2?r2t?x2t2?(1?r)t?r2?t?0?，依题意d2在t=0时取得最小值44r2,即r-1≤0 即0 22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (1) 对任意两个不等实数x1 (2)对（1）中的两个不等实数x1 f(x1)?f?x2?f(x2)?f?x1??f(x1)?f?x2?? 则g(x1)g(x2)=????? 222??2因为f(x1)≠f(x2) 即g(x1)g(x2)<0 所以由二次函数图像的特点可知，关于x的方程f(x)=0.5 [f(x1)+f(x2)]有两个 不相等的实根，且必有一根在（x1，x2）内. ax?bx1?c?ax2?bx2?c（2）由已知am?bm?c?1?0且x1?x2?2m?1 2222a(x1?x2)2?b(x1?x2)?2ax1x2?0 即am?bm?22a(2m?1)2?b(2m?1)?2a(2m?1?x2)x2?0 即am?bm?22即x0??b1?1???x22?(2m?1)x2?m2?2m??x2?m?? 2a2?2?b111??(m?)2?(2m?1)(m?)?m2?2m?2a222?m?1?m2 4所以x0??1112??22?m?(m?)?m?m??(m?)?0? ?442??
