题库:圆的证明与计算题
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．
第1题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，
第1题解图
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， PDPO∴PE＝PB，
∵PA＝AO， ∴PA＝AO＝OB， PO2∴PB＝3， PD2∴PE＝3， ∴
PD2
＝3，
PD＋DE
∵DE＝2， ∴PD＝4.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F. (1)求证：DF是⊙O的切线； 2
(2)若AE＝4，cosA＝5，求DF的长．
第2题图
（1）证明：如解图，连接OD，
G
第2题解图
∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线；
(2)解：如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G， 1
∴AG＝2AE＝2.
