1
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA＝.
3(1)求cos
2
B＋C2
＋cos2A的值；
(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值． 解 (1)cos
2
B＋C2
＋cos2A＝
1＋
2
B＋C1cosA1122
＋2cosA－1＝－＋2cosA－1＝－
2222
14?1?2
×＋2×??－1＝－. 39?3?
224222222
(2)由余弦定理，得(3)＝a＝b＋c－2bccosA＝b＋c－bc≥2bc－bc＝bc.
33393
∴bc≤，当且仅当b＝c＝时等号成立．
429∴bc的最大值为.
41
∵cosA＝，A∈(0，π)，
3∴sinA＝1－cosA＝
2?1?222. 1－??＝
3?3?
1192232
∴S△ABC＝bcsinA≤××＝.
2243432
∴△ABC面积的最大值为.
4
4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD.
(1)求AD的长； (2)求△ABC的面积．
解 (1)在△ABC中，因为BD＝2AD， 所以可设AD＝x(x>0)，则BD＝2x.
在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以BC＝4x－25.
2
BC4x－25
所以cos∠CBD＝＝.
BD2x2
在△ABC中，AB＝3x，BC＝4x－25，AC＝53， 由余弦定理，得
2
AB2＋BC2－AC213x－100
cos∠CBA＝＝. 22·AB·BC6x·4x－25
2
4x－2513x－100
所以＝，解得x＝5. 2
2x6x·4x－25所以AD的长为5.
(2)由(1)得AB＝3x＝15，BC＝4x－25＝53， 所以cos∠CBD＝＝
2
22
BCBD31，从而sin∠CBD＝. 22
111753
所以S△ABC＝·AB·BC·sin∠CBA＝×15×53×＝.
2224
5．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值； (2)求P到海防警戒线AC的距离．
解 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
PA2＋AB2－PB2x2＋202－x－
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝2PA·AB2x·20
同理，在△PAC中，AC＝50，
2
3x＋32
＝，
5xPA2＋AC2－PC2x2＋502－x225
cos∠PAC＝＝＝.
2PA·AC2x·50x∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴解得x＝31.
25
(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，由cos∠PAD＝，
314212
得sin∠PAD＝1－cos∠PAD＝，
31
3x＋3225
＝， 5xx421
∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝421.
31
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421千米．
3
6.如图，角A为钝角，且sinA＝，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点．
5
(1)若AP＝5，PQ＝35，求AQ的长；
12
(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝，求sin(2α＋β)的值．
1334
解 (1)∵∠A是钝角，sinA＝，∴cosA＝－.
55
在△AQP中，由余弦定理得PQ＝AP＋AQ－2AP·AQcosA， ∴AQ＋8AQ－20＝0，
解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2. 125
(2)由cosα＝，得sinα＝.
1313在△APQ中，α＋β＋A＝π，
3
又sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sinA＝，
54
cos(α＋β)＝－cosA＝，
5
5412356
∴sin(2α＋β)＝sin＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝. 13513565
2
2
2
2
