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③当
y?f?x?在
??1,1?上有两个零点时, 则
a?0????8a2?24a?4?0??1?1???1?2a?f?1??0??f??1??0?
a?0????8a2?24a?4?0??1?1???1?2a?f?1??0??f??1??0? 或
解得a?5或
a??3?52
a??3?52 .
综上所求实数a的取值范围是 a?1 或
4.（本小题满分13分）（安徽两地三校国庆联考）
定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1；
求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
f(?x)?（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
1f(x)
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
f(x)?∴
1?0f(?x)又x=0时，f(0)=1>0
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴
f(x2)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1f(x1)
∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0 第 25 页 共 42 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 5. （三明市三校联考）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1。 （I）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）证明：①ln(x?1)?x?2在(2,??)上恒成立 ② ?(i?2nlnin(n?1))?,(n?N?,n?1) (i?1)41?k x?1解：（I）函数f(x)的定义域为(1,??),f'(x)? 当k?0时f'(x)?1?k?0，则f(x)在(1,??)上是增函数 x?111?k?0 当k?0时，若x?(1,1?)时有f'(x)?x?1k111?k?0则f(x)在(1,1?)上是增函数，在 若x?(1?,??)时有f'(x)?kx?1k1(1?,??)上是减函数 ????????（4分） k（Ⅱ）由（I）知k?0，时f(x)在(1,??)递增，而f(2)?1?k?0,f(x)?0不成立，故 k?0 又由（I）知ymax?f(1? 则ymax?f(1?1)??lnk，要使f(x)?0恒成立， k1)??lnk?0即可。 由?lnk?0得k?1???????（8分） k （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k?1时有f(x)?0在(1,??)恒成立，且f(x)在[2,??)上是减函数，f(2)?0，?x?(2,??),f(x)?0恒成立， 即ln(x?1)?x?2在(2,??)上恒成立 。????????（11分） 222lnnn?1?， n?12ln2ln3ln4lnn123n?1n(n?1)???????????? 成立??（14分） 345n?122224(x?1)[1?ln(x?1)]6. （玉溪一中期中理）（本小题12分）已知函数f(x)?. x令x?1?n，则lnn?n?1，即2lnn?(n?1)(n?1)，从而 （Ⅰ） 设g(x)?x?f(x),(x?0).试证明g(x)在区间 (0,??) 内是增函数； 第 26 页 共 42 页 金太阳新课标资源网 2'wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com （Ⅱ） 若存在唯一实数a?(m,m?1)使得g(a)?0成立，求正整数m的值； （Ⅲ） 若x?0时，f(x)?n恒成立，求正整数n的最大值. 证明： （1） f(x)?(x?1?)?1xlxn?()?1,x(??0f)'(x)x?1?lnx(?1) 2x∴ g(x)?x?1?ln(x?1),(x?0) , 则g'(x)?x?0 ∴ g(x)在(0,??)内单调递增 x?1解：（2） ∵g(2)?1?ln3?0，g(3)?2(1?ln2)?0,∴由（1）可得g(x)在(0,??)内单调递增, 即g(x)?0存在唯一根a?(2,3) ∴ m?2 解：(3) 由f(x)?n得n?f(x)且 x?(0,??)恒成立,由（2）知存在唯一实数a?(2,3), 使g(a)?0且当0?x?a时，g(x)? ，∴ f'(x)?0，当x?a时，0g(x)?,0∴f'(x)?0. ∴ 当x?a时,f(x)取得最小值f(a)?(a?1)[1?ln(a?1)] a ∵ g(a)?0, ∴ a?1?ln(a?1)?0?1?ln(a?1)?a. 于是，f(a)?a?1. ∵ a?(2,3), ∴f(a)?(3,4) ∴n?3 ,故正整数n的最大值为3. 题组一(1月份更新) 1.（2009宣威六中第一次月考）已知函数f(x)?x?bx?cx?d在区间[?1,2]上是减函数，那么b?c（ B ） A．有最大值答案 B 3215151515 B．有最大值? C．有最小值 D．有最小值? 2222 2.（2009枣庄一模）如果函数f(x)?a?b?1(a?0且a?1)的图象经过第一、二、四象 限，不经过第三象限，那么一定有 x第 27 页 共 42 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com （ ） B．0?a?1且0?b?1 D．a?1且b?0 A．0?a?1且b?0 C．a?1且b?0 答案 B ?1?3.（2009韶关一模）已知函数f?x?????log2x，若实数x0是方程f?x??0的解，且 ?3?x0?x1?x0，则f?x1?的值为 A．恒为正值 答案 A B．等于0 C．恒为负值 D．不大于0 )的反4.（2009玉溪一中期中）已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f?1(x)，且f(x?1函数恰好为f?1(x?1)。若f(1)?3999，则f(2009)? ． 答案 1991 R上的函数，且f(1)?1,对任意的x?R都5.（2009上海十四校联考）已知f(x)是定义在有下列两式成立： f(x?5)?f(x)?5;f(x?1)?f(x)?1.若g(x)?f(x)?1?x,则g(6)的值为 答案 1 6.（2009上海八校联考）某同学在研究函数f(x)?结论： ①等式f(?x)?f(x)?0对x?R恒成立； ②函数f(x)的值域为(?1,1)； ③若x1?x2，则一定有f(x1)?f(x2)； ④函数g(x)?f(x)?x在R上有三个零点。 x(x?R) 时，分别给出下面几个 1?|x|其中正确结论的序号有________________。（请将你认为正确的结论的序号都填上） 答案 ①②③ 第 28 页 共 42 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
