第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
【典型例题】 例1．如图，设O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心．
→→
(1)求|AC|与|AD|的大小；
→
(2)写出图中与向量OA相等的向量.
→
变式一：图中与向量AB长度相等的向量有多少个？ →
变式二：图中与OB长度相等、方向相反的向量有哪有个？ →
变式三：与向量AB共线的向量有几个？
例2．下列命题正确的是( )
→→→→→→
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 →→→→
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
【课堂练习】 1．边长为
3→
的正△ABC,D为BC边的中点，求|AD|的值． 3
E
D O F
C A B
2．判断正误：
(1)所有的单位向量都相等．
(2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．
(3)方向北偏西30的向量与南偏东的向量30的向量是共线向量． (4)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．
§2. 2 平面向量的线性运算(一)
【典型例题】
→→→→
例1．平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b， →→→→用a、b表示向量CA、DB． D C A B
变式一：当四边形满足什么条件时，|→a+→b|=|→a?→
b| 变式二：→a+→b与→a?→
b可能是相等向量吗？
例2．(1)在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则→AD
＋AF→＝( D ) (A)AB
→ (B)AC→ (C)BC→ (D)AE→ (2)在平行四边形ABCD中，→AB＋→BC＋→CD等于( D )
(A)AD→ (B)DA→ (C)AC→ (D)CD→
【课堂练习】 1．→a，→
b满足什么条件时，
(1)|→a+→b|=|→a|+|→b|．；
(2)|→a?→b|=|→a|+|→b|．
2．下列各式中：
①→AB＋→BC＋→CA；②→AB＋MB→＋BO→＋OM→； ③→OA＋→OC＋→BO＋→CO；④→AB
－AC→＋BD→－CD→．
其中结果为→0的个数是( ) (A)1
(B)2
(C)3
(D)4
§2.2 平面向量的线性运算(二)
【典型例题】
→→
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,AB=a，AD=b． →→→→→→
(1)将EA，EB，EC，ED用a，b表示；
(2)O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE
例2．已知O为反之成立吗？
【课堂练习】
π
1．若△ABC中，∠CAB=，则
3
→→→→
2．平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b,M为AB的中点，N为靠近B的三等分点，判断M、N、C三点的位置关系，并进行证明．
→→ABAC+?=_______． →→|AB||AC|
→→→
ABC内的一点，若O为ΔABC的重心, 则OA+OB+OC= .
§2.3.1平面向量基本定理及坐标表示(一)
【典型例题】
→→→→→→→→→→→
例1．已知a=2e1－3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1－9e2，问是否存在这样的实数?、?,使d??a??b与c共线.
→→→
例2．(1)已知A、B、C三点共线,O是平面内任意一点,且有OC=λOA+μOB,则λ和μ满足的关系式为
→→→
(2)设OA、=tOB+(1- t)OA,试判定A、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且OPB、P三点是否共线.
【课堂练习】
→→→→→→→→→→→→→
1．已知向量a =e1－2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1－2e2的关系是( )
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
→→
2．已知|OA|=1，|OB|=3，∠AOB=90(m,n
m
R)，则的值为 ．
n
，点C在∠AOB内，且∠AOC=30
→→→，设OC=mOA+nOB
→
