3?33?得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝?x，y－b?， 2?22?
??
∴?33
y＝??2y－2b，
x－a＝x，
x3
2
??2∴?yb＝??3.
x?
x?
xa＝－，
把a＝－代入①，得－?x＋?＋3y＝0，
22?2?12
整理得y＝x(x≠0)．
4重难点突破
3??1
【例4】设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝?－，?.
?22?(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．
?13?2222
解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|－|b|＝(cosα＋sinα)－?＋?＝0，
?44?
故a＋b与a－b垂直．
(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得 3|a|＋23a·b＋|b|＝|a|－23a·b＋3|b|， 所以2(|a|－|b|)＋43a·b＝0， 而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
3?1?则?－?×cos α＋×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， 2?2?
∴α＋60°＝k·180°＋90°， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.
巩固提高
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2
D．0
2
2
2
2
2
2
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案：D
2．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为( )
5
5
A. 83C．－
8
3B．－
163D. 8
解析：由已知得|m|＝34，|n|＝5，m·n＝11，∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，∴(λm＋
n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝
3－. 8
答案：C
3．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大、小值分别是
( )
A．42，0 C．16,0
2
B．4,22 D．4,0
2
2
解析：由于|2a－b|＝4|a|＋|b|－4a·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋ππ
)，易知0≤8－8cos(θ＋)≤16，故|2a－b|的最大值和最小值分别为4和0. 66
答案：D
uuuruuurruuuruuuruuu4．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝6，|BC|＝8，|CA|＝10，则AB·BC＋uuuruuuruuuruuurBC·CA＋CA·AB的值等于( )
A．100
B．96 D．－96
C．－100
uuuruuuruuur解析：∵|AB|＝6，|BC|＝8，|CA|＝10，
6＋8＝10. ∴△ABC为Rt△.
2
2
2
ruuuruuu即AB·BC＝0.
ruuuruuuruuuruuuuuuruuurAB·BC＋BC·CA＋CA·AB uuuruuuruuuuuuruuuruuur2r＝CA (BC＋AB)＝CA·AC＝－|AC|＝－100.
答案：C
23
5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角为( )
3A．30° C．120°
B．60° D．150°
解析：将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得：a·b＝0；
6
23122
将|a－b|＝|a|两边同时平方得：b＝a.
33
a＋b·a－ba2－b21
所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝.
|a＋b|·|a－b|422
a3
所以〈a＋b，a－b〉＝60°. 答案：B
7
