复数

复数运算法则

注：本文不讨论复数中实数的运算法则

前言：

复数，为所有数的统称，复数所构成的集合称为复数域，包含了实数所构成的实数域与虚数构成的虚数域，实数与虚数合成的一般复数。复数可写成以下形式： 其中，

为实数，为虚数单位，与构成虚数，称之为该复数的虚部，则称之为该复

数的实部，在进入本文主要内容之前，读者所需要具备如下的数学知识或能力： 1.清楚并熟练地使用实数的四则运算法则。

2.对一元一次方程，一元二次方程具有熟练求解的能力。

3.清楚并熟练地使用代数的一些诸如平方差公式，完全平方公式一类的公式。

4.清楚并熟悉幂的运算，开方的运算，幂与开方的联系，三角函数与反三角函数的运算，自然对数的概念以及相关运算。 5.清楚并熟悉基本代数的一些性质。 6.理解并熟练使用角的弧度制。

本文将给予你以下的数学预备概念与公式： 1.负数的开方：

2.欧拉幅角公式：

3.自然对数运算的性质：

4.复数的三种表达： 复数代数式： 复数三角式： 复数指数式： 注意：

被称为复数的模，有：

被称为复数的辐角主值，有： 接下来，进入主题。

正文：

复数的求和：

复数的求和运算可表示为以下形式： 由的定义可得： 去括号，整理得： 将代入，得到最终形式： 复数的求积：

复数的求积运算可表示为以下形式： 展开可得： 又因为： 所以得最终形式： 复数的求商：

复数的求商运算可表示为以下形式：

上下同乘：

由平方差公式的逆式： 得到：

整理出最终形式：

复数的整实数幂：

复数的整实数幂运算可表示为以下形式： 令

，则：

据二项式定理，可得：

将代入：

即得到复数整实数幂计算的通式。 复数的任意实数幂： 试将复数

的任意实数幂表达为：

很明显，用二项式定理展开后，所需要解决的问题变为求虚数单位的任意实数幂，将其表达为以下形式：

尤其困难的，就是当为非整数的情况，由于指数值可以用分数表示或近似表示（无理数以及超越数），则可做以下处理： 那么：

由于必定是整数，所以问题又可变为： 由自然对数的性质，我们得到：

不幸的，我们碰到了虚数单位的自然对数的问题，我们将在稍后讨论它，再回头来解决这个问题。 当复数作指数时：

设一实数为底，虚数单位为指数： 由自然对数的性质： 可得： 继而化简得到：

据欧拉幅角公式，又可得到： 最终形式：

若虚数单位为底，虚数单位为指数： 代以上述公式，则有：

是的，在这里，我们又碰到了万恶的虚数单位的自然对数的问题，接下来，我们先讨论复数的自然对数，再回过头解决这个问题。 复数的自然对数：

设复数的自然对数为：

再把代数式换作指数式： 于是： 又因为：

与：

最终形式可写为：

回到前面提及的问题，特别地，当

时，上式即为：

复数的任意实数幂的问题补充： 在正文中，我们得到如下式子： 将前文的结果代入： 再由欧拉幅角公式可得：

复数作指数时的问题补充： 在正文中，我们得到如下式子： 将前文的结果代入：

再由欧拉幅角公式可得： 复数的三角函数值： 设纯虚数的正弦值为： 由欧拉幅角公式，又可知：

显而易见，我们的目的是求出纯虚数的正弦值，故可以借助三角恒等式： 则上式可化为： 简便起见：